中国剩余定理 及 拓展中国剩余定理模板

求解同余方程组：
$\left\{\begin{matrix} x\equiv r_1 \pmod {m_1}\\ x\equiv r_2 \pmod {m_2}\\ \cdots\\ x\equiv r_n \pmod {m_n}\\ \end{matrix}\right.$

---

①中国剩余定理

当 $m_1,m_2,\cdots,m_n$互质时，可用中国剩余定理解 $x$。

设 $M$为 $m_1,m_2,\cdots,m_n$的最小公倍数（LCM），由于各项互质，则有

$M=\displaystyle\prod^n_{i=1}m_i$

对于每一个同余方程，设一个 $t_i$，为同余方程 $\frac{M}{m_i}t_i\equiv 1\pmod {m_i}$的最小非负整数解。

则可解得同余方程组：

• 特解： $x=\displaystyle\sum^n_{i=1}r_i\frac{M}{m_i}t_i$
• 通解： $X=x+kM\;\;\;\;(k\in Z)$
• 最小非负整数解： $x_{min}=(x\mod M+M)\mod M$

模板：

void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)    //拓展欧几里得 解单个同余方程
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        d=a;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
LL r[maxn],m[maxn];
LL CRT()
{
    LL M=1,res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        M*=m[i];       //最小公倍数LCM
    LL a,b,d,x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a=M/m[i],b=m[i];
        exgcd(a,b,d,x,y);    //解同余方程：M/m[i] * t ≡ 1 (mod m[i])
                             //由于M/m[i]和m[i]互质，gcd恰为 1，所以一定有解
        x=(x%b+b)%b;         //最小非负整数解
        res=(res+r[i]*(M/m[i])*x)%M;   //加到特解当中
    }
    return res;
}

---

②拓展中国剩余定理

当 $m_1,m_2,\cdots,m_n$不一定互质时，需用拓展中国剩余定理解 $x$。

设 $M_k$ 为 $m_1,m_2,\cdots,m_k$（即前 $k$个 $m$）的 最小公倍数（LCM），前 $k$个方程组的一个特解为 $x_k$。

对于 第 $k$个同余方程，设一个 $t$，为同余方程 $x_{k-1}+t*M_{k-1}\equiv r_k\pmod {m_k}$ 的最小非负整数解。

则有 $x_k=x_{k-1}+t*M_{k-1}$。

递推可解得同余方程组：

• 特解： $x_n$
• 通解： $X=x_n+kM_n\;\;\;\;(k\in Z)$
• 最小非负整数解： $x_{min}=(x_n\mod M_n+M_n)\mod M_n$

模板：

void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        d=a;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
LL r[maxn],m[maxn];
LL EXCRT()
{
    LL M=m[1],res=r[1];
    LL a,b,c,d,x,y,t;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {                  //c转为正
        a=M,b=m[i],c=((r[i]-res)%m[i]+m[i])%m[i];
        exgcd(a,b,d,x,y);   //求解同余方程：t*M ≡ r[i]-x (mod m[i])
        if(c%d!=0)
        	return -1;      //无解
        t=b/d;
        x=x*c/d;
        x=(x%t+t)%t;
        res+=x*M;  //更新x
        M*=t;      //更新LCM：M = M*m[i]/gcd(M,m[i])
        res=(res%M+M)%M;
    }
    return res;
}