中国剩余定理及拓展

我好菜啊

中国剩余定理

我愿意称它为动动定理

有方程组：

\[\begin{cases}x\equiv a_1 (mod\ p_1)\\x\equiv a_2 (mod\ p_2)\\……\\x\equiv a_n (mod\ p_n)\end{cases}\]

其中对于\(i\in[1,n],p_i\)两两互质

求解：

定义\(M=\prod\limits_{i=1}^{n}p_i,M_i=\frac{\prod\limits_{j=1}^{n}p_j}{p_i}\)

则方程组的解为\(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i*M_i*p_i^{-1}\)

证明：

观察\(a_i*M_i*p_i^{-1}\)

对于\(j\ne i\)来说，由于\(M_i\)是\(p_j\)的倍数，所以\(\equiv 0(mod\ p_j)\)

对于\(i\)来说，由于\(p_i\)两两互质，所以\(M_i\)中不含\(p_i\)的倍数，且\(a_i*M_i*p_i^{-1}\equiv a_i(mod\ p_i)\)

code

给我也整一个

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
#define eps (1e-8)
    inline int read()
    {
        int x=0;char ch,f=1;
        for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
        if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
        while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
        return f?x:-x;
    }
    const int N=110;
    int n,m=1,x,y,ret;
    int a[N],p[N];
    inline void exgcd(int &x,int &y,int a,int b)
    {
        if(!b){x=1,y=0;return;}
        exgcd(y,x,b,a%b);
        y-=a/b*x;
    }
    inline void crt()
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            exgcd(x,y,m/p[i],p[i]);
            ret=(ret+m/p[i]*x%m*a[i]%m)%m;
        }
    }
    inline void main()
    {
        n=read();
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            p[i]=read();
            a[i]=read()%p[i];
            m*=p[i];
        }
        crt();
        printf("%lld\n",(ret%m+m)%m);
    }
}
signed main()
{
    red::main();
    return 0;
}

拓展中国剩余定理

有方程组：

\[\begin{cases}x\equiv a_1 (mod\ p_1)\\x\equiv a_2 (mod\ p_2)\\……\\x\equiv a_n (mod\ p_n)\end{cases}\]

还是它！不过我们这次不保证\(p_i\)两两互质

我们选择关闭本题

求解：

其实我们可以数学归纳，假设我们已经求解出了前\(k-1\)个方程组的答案

重新定义\(M=LCM_{i=1}^{k-1}p_i\)，则前\(k-1\)个方程的解为\(x+i*M(i\in Z)\)

考虑与第\(k\)个方程合并，使得\(x+t*M\equiv a_k(mod\ p_k)\)

去掉模数+移项得到\(t*M+y*p_k\equiv a_k-x\)

我们用\(exgcd\)求出\(t\)，则前\(k\)个方程组的解为\(x+t*M\)

注意\(exgcd\)无解的情况

code

给我再整一个

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
#define eps (1e-8)
    inline int read()
    {
        int x=0;char ch,f=1;
        for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
        if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
        while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
        return f?x:-x;
    }
    const int N=1e5+10;
    int n,m,ret;
    int a[N],p[N];
    int x,y,g;
    inline void exgcd(int &x,int &y,int &g,int a,int b)
    {
        if(!b){x=1,y=0,g=a;return;}
        exgcd(y,x,g,b,a%b);
        y-=a/b*x;
    }
    inline int slow(int x,int k,int p)
    {
        int ret=0;
        while(k)
        {
            if(k&1) ret=(ret+x)%p;
            x=(x+x)%p;
            k>>=1;
        }
        return ret;
    }
    inline void excrt()
    {
        m=p[1],ret=a[1];
        for(int i=2;i<=n;++i)
        {
            int c=((a[i]-ret)%p[i]+p[i])%p[i];
            exgcd(x,y,g,m,p[i]);
            if(c%g);//无解
            x=slow(x,c/g,p[i]);
            ret+=x*m;
            m*=p[i]/g;
            ret=(ret+m)%m;
        }
    }
    inline void main()
    {
        n=read();
        for(int i=1;i<=n;++i) p[i]=read(),a[i]=read()%p[i];
        excrt();
        printf("%lld\n",(ret%m+m)%m);
    }
}
signed main()
{
    red::main();
    return 0;
}