关于组合数学：可重复组合问题
- 题目描述：在1~n这n个数中，选择m个数，选取的数可以重复，有些数可以不选择。问：当n=4，m=4时有多少种选取方案？
解1：分类讨论：计算都选择一个数、两个数，三个数、四个数，答案就是。
解2：设我们在n种树之外，又增添了3个数b,c,d，代表的意思是我们在选取其他种类的数字的同时，可能会选择在1~n之间的重复的数字，这3个数就是指重复的数字且不指名是哪种数字的重复数字（为什么是3呢？总共也就4个数可以选，当然在极端情况下有3种重复数字要选择咯（也就是m-1)）。那么，问题就可以转化为在n+m-1个数中，取m个数了，所以答案为C(n+m-1,m) 也就是 C(7,4)。
举几个例子证明一下：
当n=1,m=4时，答案为1。由解2可知，我们将b+1,c+2,d+3，得到n+m-1=4。(a不变，所以-1）。所以答案C(4,4)=1；
当n=2,m=4时，答案为C(5,4)。由解2可知，b+1,c+2,d+3，得到5个不同的数，从中选取4个。因为这3个数(b,c,d)指的是重复的数字但并没有明确指示是哪个数字的重复的数字，且组合数C求的是组合方案，所以可以得到在每种不同的组合中，这些组合的意义绝对不会重复。
解释一下：
我们选取a,b,和c，b是a的重复数字（假想），这时可以得到a种数字我们选择了2个，c种数字我们选择了1个。再将b换取另一种数字d，其实可以表示为c种数字选两个，a选一个。其他情况同理，是可以转化为不同的情况的（自己证明一下）。而在这过程中，其他没有被选取的数字的数量在这个组合方案中相当于0个。
所以，在此类问题中，答案为C(m,m+n-1）。