组合数问题一：

给定

解决方法：杨辉三角

　　因为a,b范围非常小，直接利用杨辉三角打表即可。

代码实现：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2010, mod = 1e9+7;
int s[N][N];

void start()
{
    s[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=N-5;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            s[i][j]=(s[i-1][j]+s[i-1][j-1])%mod;
}

int main()
{
    start();
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",s[a+1][b+1]);
    }
    return 0;
}

组合数问题二

给定

　　模板题链接：组合数二

问题特点：数据组数较多，a,b范围较大，且要求对一个定值取模。

解决方法：乘法逆元

　　利用乘法逆元将a/b mod p转化成a*b^-1 mod p。

　　然后将阶乘与阶乘的逆元分别打表即可。

　　递推式：

① n! = (n-1)! * n

② n!^-1 = (n-1)!^-1 * n^p-2

②的证明：

　　(n-1)!^-1 = (n-1)!^p-2

　　(n-1)!^p-2 * n^p-2 = n!^p-2

代码实现：

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100000+10, mod = 1e9 + 7;

int jc[N],ny[N];

int qmi(int a,int k,int p)
{
    int res=1%p;
    while(k)
    {
        if(k&1)res=(ll)res*a%p;
        a=(ll)a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return res;

}

void start()
{
    jc[0]=1;ny[0]=1;
    for(int i=1;i<=N-5;i++)
    {
        jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mod;
        ny[i]=(ll)ny[i-1]*qmi(i,mod-2,mod)%mod;
    }
}
int main()
{
    start();
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
        int ans=(ll)jc[a]*ny[b]%mod*ny[a-b]%mod;
        printf("%d\n",ans%mod);
    }
    return 0;
}

组合数问题三

给定

　　模板题链接：组合数三

问题特点：数据组数较少，a,b范围很大，p的值非定值。

解决方法：Lucas定理

　　若p是质数，则对于任意整数1≤m≤n，有：

　　

　　相当于是把n和m表示成p进制数，对p进制下的每一位分别计算组合数，最后再乘起来。

　　利用Lucas定理将目标组合数递归分解，直到m和n小于p为止。

　　然后对于每个分解出来的m和n的范围均在p以内的组合数，就可以放心地根据组合数的定义直接求解。

　　当然，对于每一步计算过程，都需要对p取模，遇到除法的利用快速幂转化成乘法逆元即可。

代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

int p; //用的次数比较多的变量，一般设置的变量名比较短，且一般设成全局变量

int qmi(int a,int k)
{
    int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
        {
            res=(ll)res * a % p;
        }
        a=(ll)a * a % p;
        k>>=1;
    }
    return res;
}

int C(int a,int b)
{
    if(a<b)return 0;
    int res=1;
    for(int i=a,j=1;j<=b;i--,j++)
    {
        res = (ll)res * i % p;
        res = (ll)res * qmi(j,p-2)%p;
    }
    return res;
}

int lucas(ll a,ll b)
{
    if(a<p&&b<p)return C(a,b);
    {
        return (ll)C(a%p,b%p)*lucas(a/p,b/p)%p;
    }
}

int main()
{
    int n;scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        ll a,b;
        scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&p);  //scanf是c的语法，cin是c++的语法，函数内部自带&
        printf("%d\n",lucas(a,b));
    }
    return 0;
}

组合数问题四

输入

注意结果可能很大，需要使用高精度计算。

1≤b≤a≤5000

　　模板题链接：组合数四

问题特点：只有一组数据，a,b取值不大，但没有要求取模。

解决方法：高精度

　　题目没有要求取模，就没办法在过程中保证数据的大小，只能暴力高精度。

　　根据组合数的定义，可得：

　　在循环过程中一边乘一边除即可，这样便只需要写两个函数：高精度乘低精度，高精度除以低精度。

代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
struct largeint{
    int len;
    int num[10010];
};
largeint lar_mult(largeint a,int b)
{
    for(int i=1;i<=a.len;i++)a.num[i]*=b;
    for(int i=1;i<=a.len;i++)
    {
        a.num[i+1]+=a.num[i]/10;
        a.num[i]%=10;
    }
    if(a.num[a.len+1]>0)a.len++;
    while(a.num[a.len]>9)
    {
        a.len++;
        a.num[a.len]+=a.num[a.len-1]/10;
        a.num[a.len-1]%=10;
    }
    while(a.num[a.len]==0&&a.len>1)a.len--;
    return a;
}

largeint lar_div(largeint a,int b)
{
    for(int i=a.len;i>=1;i--)
    {
        if(i>1)a.num[i-1]+=(a.num[i]%b)*10;
        a.num[i]/=b;
    }
    while(a.num[a.len]==0&&a.len>1)a.len--;
    return a;
}

void print(largeint n)
{
    for(int i=n.len;i>=1;i--)
        printf("%d",n.num[i]);
    printf("\n");
    return;
}

int main()
{
    int a,b; scanf("%d%d",&a,&b);
    largeint res;
    res.num[1]=1;res.len=1;
    for(int i=a,j=1;j<=b;i--,j++)
    {
        res=lar_mult(res,i);
        res=lar_div(res,j);
    }
    print(res);
    return 0;
}

组合数学——组合数问题（四类汇总）

组合数问题一：

组合数问题二

组合数问题三

组合数问题四

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