组合数学-错排问题

hdoj2049

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2049

Problem Description:

国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:

首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排;
然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个.
最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板...

看来做新郎也不是容易的事情...

假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。

Output

对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2 2

3 2

Sample Output

1 3

解题思路，这题是一个排列组合问题，首先从N对夫妇里面选M对夫妇，然后对这M对夫妇进行错排。

错排问题：假设有n对新郎选n个新娘，这里分两种情况进行讨论

1.前n-1个新郎已经完成了错排，这时候来了第n个新郎，这时候这个新郎只需要和前n-1个新郎进行交换，n个新郎就可以完成错排，可能情况为f[n-1]*(n-1)种。

2.如何前n-1个新郎没有完成错排，那么在来一个新郎就得满足一个条件，n-1个新郎中只有一个选到了自己的新郎，n-2个完成了错排，这个选到自己新娘的新郎和新来的那个第n个新郎完成交换，就可以完成错排，由于选到新娘的人可能是n-1个新郎中的任意一个，可能情况为f[n-2]*(n-1)种,所以总的可能的情况为(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])种,F[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2]),F[1]=1,F[2]=2。

所以我们就得到了错排公式：F[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2]),F[1]=1,F[2]=2。

求C(m,n)用的是杨辉三角法，杨辉三角第i行第j列代表C(m,n),i和j都从0开始。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define DBG(x) \
(void)(cout << "L" << __LINE__ \
<< ": " << #x << " = " \
<< (x) << '\n')
using namespace std;
typedef long long ll;
ll com(int n,int r)
{
    ll a[25][25]={0};
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        a[i][i]=1;
        a[i][0]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n-1;j++)
            a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];
    }
    return a[n][r];
}
int main()
{
    int c;
    scanf("%d",&c);
    while(c--)
    {
        ll f[25];
        f[1]=0,f[2]=1;
        int n,m;
        scanf("%d %d",&n,&m);
        ll ans1=com(n,m);
        for(int i=3;i<=m;i++)
        {
            f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
        }
        //DBG(f[m]);
        ll ans=f[m]*ans1;
        printf("%lld\n",ans);
        //printf("%lld\n",fac(20));
    }
    return 0;
}

组合数学-错排问题

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