错排公式的应用了一个很常见的问题，即编号为1到n的书，要放在编号1到n号位置上，并且要求每一本书不在对应编号的位置上，问共有多少种放法。
本问题主要是推出其的递推公式，初次分析，此类问题，很容易想到其递归公式是f(n)=f(n-1)(n-1)。其中f(n)是n本书时的方法数。那末很容易漏掉一些情况。
其正确的公式是 **f(n)=f(n-1)(n-1)+f(n-2)(n-1).
有两种理解思路。
**理解一：**假设我一开始拿了k书，并且放置在了m位，那么第二次我拿m书，有两种选择。一是，m书放在了k位，那么接下来的n-2本书就要进行错排，因此是f(n-2),那么接下来，可能不加思考的就得出Cn2f(n-2)(Cn2代表从n本书挑出K，m的方案数，即n（n-1)/2.）但是，是不对的，这其中是有重复的方案。由于f(n-2)的存在,其可能就包含了下一种的Cn2。所以，Cn2即k,m究竟是1，2还是1，4还是2，7等等，必须固定下k ,当k 固定了，m就有了（n-1）种。即得到了 f(n-2)(n-1)
其中，k可以是1、2、3、等等，每种k的值都等得出相同的方案总数。
二是，第二次拿m书时，我不放在了k位，而是除了k位的任何位置。也就是说m书不能放k位，其余的书也得错排，那么m书可以和剩下的书一起进行错排（相当于把k位看作时m书所对应的m位）所以有f(n-1)。结合上述的理解可以得到f(n-1)(n-1)。
理解二：当前n-1本书错排时，最后一位可以放（n-1）种书，故可以得到f(n-1)(n-1)。
但是前n-1本书，可以有一本是放在正确的位置，如第三本就放在了三号位。当放最后一位时，可以把该放在最后一位的书与第三位的书进行对调，同样也符合错排。至于为甚麽前n-1本书不能有多个书放在正确的位置，是因为，最后一位只有一本书，只能对调一次。故得出了f（n-2）（n-1).
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