HDU - 2829 Lawrence [ 斜率优化dp ]

题目链接 : HDU - 2829

题意 :

给出一条笔直无分叉的铁路上有n个仓库，每个仓库有一个v[i]代表价值；

每两个仓库之间算作一段铁路，现在有m次攻击机会，一次攻击可以炸毁一段铁路；

m次攻击后，剩余的总价值为：Σ(v[i]*v[j])，i和j为所有任意两个互相可到达的仓库。

现要求选定m段铁路进行攻击炸毁，然后使得总价值最小。

思路 :

正常的思路，首先想到用滚动数组，用dp[i][j] 代表以 j 结尾的分成了 i 段的最小值，那

么 $dp[i][j] = min { dp[i-1][k] + w[j] - w[k] - sum[k] * (sum[j] - sum[k]) }$ 但是对于这种情况，

我们要遍历一遍 i j k 因此时间复杂度是O( n ^ 3 ) 而题目的数据是1000，因此要用的斜

率优化，如果对于 q 来说有一个更加优化的 k 的话那么

$dp[i-1][k] + w[j] - w[k] - sum[k] * (sum[j] - sum[k]) < dp[i-1][q] + w[j] - w[q] - sum[q] * (sum[j] - sum[q])$

化简得 :

$(dp[i-1][k] - w[k] + sum[k] * sum[k] - ( dp[i-1][q] - w[q] + sum[q] * sum[q] )) / (sum[k) - sum[q]) < sum[j]$

AC code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 1e3+50;

ll dp[maxn][maxn] ,w[maxn] ,sum[maxn] ,v[maxn] ;
int que[maxn] ,head ,tail ;
int n ,m ;

ll y (int i,int j,int k) {
	return dp[i][k] - w[k] + sum[k] * sum[k] - (dp[i][j] - w[j] + sum[j] * sum[j]);
}

ll x (int j,int k) {
	return sum[k] - sum[j];
}

int main() {
	while(~scanf("%d %d",&n ,&m ) &&(n+m)) {
		w[0] = sum[0] = 0;
		for (int i = 1;i<=n;i++) {
			scanf("%lld",&v[i]);
			sum[i] = sum[i-1] + v[i];
			w[i] = w[i-1] + sum[i-1] * v[i];
		}
		for (int i = 1;i <= n;i++) {
			dp[1][i] = w[i];
		}
		for (int i = 2;i <= m+1;i++) {
			head = tail = 0;
			que[tail ++] = i-1;
			for (int j = i;j<=n;j++) {
				while(head + 1 < tail && y(i-1 ,que[head] ,que[head + 1]) < x(que[head] ,que[head + 1]) * sum[j] ) head ++;
				dp[i][j] = dp[i-1][que[head]] + w[j] - w[que[head]] - sum[que[head]] * ( sum[j] - sum[que[head]] ); 
				while(head + 1 < tail && y(i-1 ,que[tail-2] ,que[tail-1]) * x(que[tail-1] ,j ) >= y(i-1 ,que[tail - 1] ,j) * x(que[tail-2] ,que[tail-1]) ) tail -- ;
				que[tail ++] = j;
			}
		}
		printf("%lld\n",dp[m+1][n]);
	}
	return 0;
}

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