Newcoder 16 B.Distance（水~）

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Description

$FST$作为小朋友，经常会遇到和距离有关的问题，但是他已经厌倦了曼哈顿距离和欧几里德距离，所以 $FST$就定义了一种 $FST$距离。

这种距离并不用于空间或平面中，而运用于 $FST$发明的一些神奇的算法中（唔… …）。

设 $i$号元素的特征值为 $A_i$，则 $i$和 $j$的 $FST$距离是 $|i^2 - j^2|+|A_i^2 - A_j^2|$。

为了实现某新的数据结构， $FST$想在一大堆元素中找出距离最大的一对元素，他不关心是哪一对元素，只想求出最大距离。

Input

第一行，一个正整数 $n$，为元素个数。

第二行， $n$个正整数 $A_i$为这 $n$个元素的特征值。

$(n\le 10^5,A_i\le 10^9)$

Output

一行，一个正整数表示最大距离。 $long\ long$请用 $lld$

Sample Input

2
4 3

Sample Output

10

Solution

把 $(i^2,A_i^2)$看作第 $i$个点的二维坐标，问题转化为求 $n$个点中任意两点之间哈密顿距离最大值，假设 $i$点坐标为 $(x_i,y_i)$，那么 $x_i,y_i$在最优答案中的符号只有四种情况 $(\pm x_i\pm y_i)$，而对应的另一点的符号与该点相反，那么我们枚举这四种符号的可能，把每个点在该种符号下对答案的贡献排序，最大值即为该种符号的最大贡献，最小值取负即为另一个点对答案的最大贡献，两者加起来维护最优解即为答案，时间复杂度 $O(nlogn)$

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100001;
ll x[maxn],y[maxn],z[maxn];
int n;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		x[i]=1ll*i*i;
		scanf("%lld",&y[i]);
		y[i]*=y[i];
	}
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=1;i++)
		for(int j=0;j<=1;j++)
		{
			int f1=1,f2=1;
			if(i)f1=-1;
			if(j)f2=-1;
			for(int k=1;k<=n;k++)z[k]=x[k]*f1+y[k]*f2;
			sort(z+1,z+n+1);
			ans=max(ans,z[n]-z[1]);
		}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}