能量采集 HYSBZ - 2005 （莫比乌斯反演）

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】 5 4 【样例输入2】 3 4

Sample Output

【样例输出1】 36 【样例输出2】 20 对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

思路：

由题意，本题就是求

$2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)-n*m$

对前者进行变形

$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]$

设 $f(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=x]$

进一步转化后 $f(x)=\sum_{i=1}^{n/x}\sum_{j=1}^{m/x}[gcd(i,j)=1]$

再令 $F(x)=\sum_{x|d}f(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[x|gcd(i,j)]=\sum_{i=1}^{n/x}\sum_{j=1}^{m/x}[1|gcd(i,j)]$

易得 $\sum_{i=1}^{n/x}\sum_{j=1}^{m/x}[1|gcd(i,j)] =floor(\frac{n}{x})*floor(\frac{m}{x})$

据莫比乌斯反演 $f(x)=\sum_{x|d}\mu (\frac{d}{x})*F(d)$

最后就可以将最初的式子化成这样：

$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})*F(x)$

完成。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+5;
typedef long long LL;
bool check[MAXN+10];
long long prime[MAXN+10];
int mu[MAXN+10];
void Moblus()
{
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    long long tot = 0;
    for(long long i = 2; i <= MAXN; i++)
    {
        if( !check[i] ){
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(long long j = 0; j < tot; j++)
        {
            if(i * prime[j] > MAXN) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if( i % prime[j] == 0){
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }else{
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}
LL f[MAXN],F[MAXN];
int main()
{
	int n,m;
	Moblus();
	memset(f,0,sizeof(f));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(n>m) swap(n,m);
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) F[i]=1ll*(n/i)*(m/i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=i;j<=n;j+=i)
		{
			f[i]+=1ll*mu[j/i]*F[j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=1ll*f[i]*i;
	printf("%lld\n",2*ans-1ll*n*m);
}

能量采集 HYSBZ - 2005 （莫比乌斯反演）

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