BZOJ2005 [NOI2010]能量采集

原题链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2005

能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

【样例输出2】

HINT

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题解

对于每株植物，损失的能量为 $2(gcd(x,y)-1)+1$ ，最后的答案就是 $2[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)]-nm$ ，我们要着重解决的就是方括号中的部分。

说实话，这个化简挺简单的，使用的都是基本技巧，我就不做说明了，相信认真阅读了入门指南的同学不会有阅读障碍：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} g c d (i, j) \begin{aligned} = \sum_{d = 1}^{m i n (n, m)} d \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [d = g c d (i, j)] \\ = \sum_{d = 1}^{m i n (n, m)} d \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{d} ⌋} [1 = g c d (i, j)] \\ = \sum_{d = 1}^{m i n (n, m)} d \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{d} ⌋} \sum_{d^{'} | g c d (i, j)} μ (d^{'}) \\ = \sum_{d = 1}^{m i n (n, m)} d \sum_{d^{'} = 1}^{⌊ \frac{m i n (n, m)}{d} ⌋} μ (d^{'}) \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{d} ⌋} [d^{'} | g c d (i, j)] \\ = \sum_{d = 1}^{m i n (n, m)} d \sum_{d^{'} = 1}^{⌊ \frac{m i n (n, m)}{d} ⌋} μ (d^{'}) ⌊ \frac{n}{d d^{'}} ⌋ ⌊ \frac{m}{d d^{'}} ⌋ \\ 设 T = d d^{'} \\ = \sum_{T = 1}^{m i n (n, m)} ⌊ \frac{n}{T} ⌋ ⌊ \frac{m}{T} ⌋ \sum_{d^{'} | T} μ (d^{'}) ⌊ \frac{T}{d^{'}} ⌋ \\ = \sum_{T = 1}^{m i n (n, m)} ⌊ \frac{n}{T} ⌋ ⌊ \frac{m}{T} ⌋ φ (T) \end{aligned}

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\\ \begin{align*} &=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[d=gcd(i,j)]\\ &=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[1=gcd(i,j)]\\ &=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{d'|gcd(i,j)}\mu(d')\\ &=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{d'=1}^{\lfloor\frac{min(n,m)}{d}\rfloor}\mu(d')\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[d'|gcd(i, j)]\\ &=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{d'=1}^{\lfloor\frac{min(n,m)}{d}\rfloor}\mu(d')\lfloor\frac{n}{dd'}\rfloor\lfloor\frac{m}{dd'}\rfloor\\ 设T=dd'\\ &=\sum_{T=1}^{min(n,m)}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum_{d'|T}\mu(d')\lfloor\frac{T}{d'}\rfloor\\ &=\sum_{T=1}^{min(n,m)}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\varphi(T)\\ \end{align*}$

$\mathcal{AC}$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e5+5;
int p[M/3],phi[M],n,m;
long long ans;
bool isp[M];
void pre()
{
    phi[1]=isp[1]=1;int t;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!isp[i])p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=p[0];++j)
        {
            t=i*p[j];if(t>n)break;
            isp[t]=1;
            if(i%p[j]==0){phi[t]=phi[i]*p[j];break;}
            phi[t]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
        phi[i]+=phi[i-1];
    }
}
void in(){scanf("%d%d",&n,&m);}
void ac()
{
    if(n>m)swap(n,m);pre();
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));ans+=1ll*(n/l)*(m/l)*(phi[r]-phi[l-1]);}
    printf("%lld",2*ans-1ll*n*m);
}
int main(){in();ac();}