BZOJ2005 [Noi2010]能量采集（洛谷P1447）

莫比乌斯反演/乱搞

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题目要我们求$2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(i,j)-nm$

主要是求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(i,j)$

我们设$f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)=x],F(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[x|(i,j)]$

那么原式$=\sum_{x=1}^{min(n,m)}x*f(x)$

很容易发现$F(x)=\lfloor\frac nx\rfloor\lfloor\frac mx\rfloor$

有两种做法通过$F(x)$求$f(x)$：

一：乱搞。发现$f(x)=F(x)-f(kx)(k>1)$，那么从后往前推求出$f(x)$即可。

二：反演。套公式可得$f(x)=\sum_{x|d}F(d)\mu(d/x)$，直接枚举即可。

代码：

//乱搞
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 100005
using namespace std;
typedef long long LL;
LL f[N],ans,n,m;
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if (n>m) swap(n,m);
    for (int i=n;i;i--){
        f[i]=(n/i)*(m/i);
        for (int j=i<<1;j<=n;j+=i) f[i]-=f[j];
        ans+=((i<<1)-1)*f[i];
    }
    return printf("%lld\n",ans),0;
}

//反演
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100005
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,m,mu[N],p[N];
LL ans;
bool f[N];
inline void mkp(){
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (!f[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1,v;j<=p[0]&&(v=i*p[j])<=n;j++){
            f[v]=true,mu[v]=-mu[i];
            if (!(i%p[j])) { mu[v]=0; break; }
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if (n>m) swap(n,m); mkp();
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=i;j<=n;j+=i)
            ans+=1ll*mu[j/i]*(1ll*n/(1ll*j))*(1ll*m/(1ll*j))*((i<<1)-1);
    return printf("%lld\n",ans),0;
}