[NOI2010]能量采集

题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有\(n\)列，每列有\(m\)棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标\((x, y)\)来表示，其中\(x\)的范围是\(1\)至\(n\)，表示是在第\(x\)列，\(y\)的范围是\(1\)至\(m\)，表示是在第\(x\)列的第\(y\)棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是\((0,0)\)。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有\(k\)棵植物，则能量的损失为\(2k + 1\)。例如，当能量汇集机器收集坐标为\((2, 4)\)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物\((1, 2)\)，会产生\(3\)的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为\(1\)。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中\(n = 5\)，\(m = 4\)，一共有\(20\)棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了\(36\)的能量损失。

输入输出格式

输入格式：

仅包含一行，为两个整数\(n\)和\(m\)。

输出格式：

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

说明

对于\(10\%\)的数据：\(1 ≤ n, m ≤ 10\)；
对于\(50\%\)的数据：\(1 ≤ n, m ≤ 100\)；
对于\(80\%\)的数据：\(1 ≤ n, m ≤ 1000\)；
对于\(90\%\)的数据：\(1 ≤ n, m ≤ 10,000\)；
对于\(100\%\)的数据：\(1 ≤ n, m ≤ 100,000\)。

题意：求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m2 \times gcd(i,j)-1\]

直接暴力推式子了

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=k]\]

设\(a=\lfloor\frac{n}{k}\rfloor,b=\lfloor\frac{m}{k}\rfloor\)

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[gcd(i,j)=1]\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{d=1}^{min(i,j)}\mu(d)[d|gcd(i,j)]\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[d|gcd(i,j)]\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\lfloor\frac{a}{d}\rfloor\lfloor\frac{b}{d}\rfloor\]

到这里虽然不够优，但是显然已经可以了。

复杂度:\(O(\sum\limits_{i=1}^ni^{\frac{1}{2}})\)其实就是\(O(n\sqrt n)\)

Code:

#include <cstdio>
#define ll long long
const int N=1e5;
ll ans=0;
int mu[N+10],pri[N+10],ispri[N+10],cnt;
void init()
{
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!ispri[i])
        {
            mu[i]=-1;
            pri[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=N;j++)
        {
            ispri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
int n,m;
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int main()
{
    init();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int k=1;k<=min(n,m);k++)
    {
        int a=n/k,b=m/k;
        ll sum=0;
        for(int l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1)
        {
            r=min(a/(a/l),b/(b/l));
            sum+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*(a/l)*(b/l);
        }
        ans+=sum*k;
    }
    printf("%lld\n",ans*2ll-1ll*n*m);
    return 0;
}

2018.10.21