POJ 1830 开关问题 【01矩阵 高斯消元】

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开关问题

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Description

有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）

Input

输入第一行有一个数K，表示以下有K组测试数据。 
每组测试数据的格式如下： 
第一行 一个数N（0 < N < 29） 
第二行 N个0或者1的数，表示开始时N个开关状态。 
第三行 N个0或者1的数，表示操作结束后N个开关的状态。 
接下来 每行两个数I J，表示如果操作第 I 个开关，第J个开关的状态也会变化。每组数据以 0 0 结束。 

Output

如果有可行方法，输出总数，否则输出“Oh,it's impossible~!!” 不包括引号

Sample Input

2
3
0 0 0
1 1 1
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2
0 0
3
0 0 0
1 0 1
1 2
2 1
0 0

Sample Output

4
Oh,it's impossible~!!

Hint

第一组数据的说明： 
一共以下四种方法： 
操作开关1 
操作开关2 
操作开关3 
操作开关1、2、3 （不记顺序） 

题意概括：

如题。

解题思路：

根据开关之间的关系可以构造一个0，1矩阵，然后通过求解这个矩阵，相加模2（即异或操作），求解线性方程组。

一个自由元即产生 2 种可能性，假设最后解的方程组存在ans个自由元 ，方案数就是 2 的 ans 次幂；

如何构造这样一个0，1增广矩阵呢？

设方程个数为 equ 个， 未知数个数为 var 个，我们最终构造出来的是一个 equ*（var+1）的0，1矩阵。 

最后一列 a [ i ][ var + 1 ] 很容易 就是 初始状态 st [ i ] ^ 最终状态 ed [ i ];

而前面的系数矩阵呢？

其实是一个 N*N 的矩阵，可以把开关之间的关系理解成图的边，这个系数矩阵就是这个图的邻接矩阵。

构造出了增广矩阵，接下来的就是交给高斯消元去求解这个方程组了。

Ac code：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cmath>
 6 #include <map>
 7 #define LL long long
 8 #define INF 0x3f3f3f3f
 9 using namespace std;
10 const int MAXN = 35;
11 int N, cnt;
12 
13 int a[MAXN][MAXN];      //增广矩阵
14 int x[MAXN];            //解集
15 bool freeX[MAXN];       //标记自由元
16 int free_num;           //自由元个数
17 int st[MAXN];           //记录初始状态
18 int ed[MAXN];           //记录最终状态
19 
20 int Gauss(int equ, int var)
21 {
22     int maxRow, col, k;
23     free_num = 0;
24     for(k = 0, col = 0; k < equ && col < var; k++, col++){
25         maxRow = k;
26         for(int i = k+1; i < equ; i++){                     //寻找当前列绝对值最大的一行
27             if(abs(a[i][col]) > abs(a[maxRow][col])){
28                 maxRow = i;
29             }
30         }
31         if(a[maxRow][col] == 0){                //表示当前列绝对值最大的已经是0了，说明该列下面的全部都是0
32             k--;
33             freeX[free_num++] = col;
34             continue;
35         }
36         if(maxRow != k){                       //绝对值最大的一行与当前行交换
37             for(int j = col; j < var+1; j++){
38                 swap(a[k][j] , a[maxRow][j]);
39             }
40         }
41         for(int i = k+1; i < equ; i++){         //以绝对值最大的一行为标准对其他行进行消元
42             if(a[i][col] != 0){
43                 for(int j = col; j < var+1; j++){
44                     a[i][j] ^= a[k][j];
45                 }
46             }
47         }
48     }
49     for(int i = k; i < equ; i++)        //判断是否无解
50         if(a[i][col] != 0)
51         return -1;
52 
53     if(k < var){
54         return var-k;   //自由元的个数
55     }
56     //唯一解，回代
57     for(int i = var-1; i >= 0; i--){
58         x[i] = a[i][var];
59         for(int j = i+1; j < var; j++){
60             x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
61         }
62     }
63     return 0;
64 }
65 
66 int main()
67 {
68     int T_case;
69     int u, v;
70     scanf("%d", &T_case);
71     while(T_case--){
72         scanf("%d", &N);
73         for(int i = 0; i < N; i++){
74             scanf("%d", &st[i]);
75         }
76         for(int i = 0; i < N; i++){
77             scanf("%d", &ed[i]);
78         }
79         memset(a, 0, sizeof(a));
80         memset(x, 0, sizeof(x));
81                                                         //构造增广矩阵
82         for(int i = 0; i < N; i++){                     //本开关肯定对本开关有影响
83             a[i][i] = 1;
84         }
85 
86         while(~scanf("%d%d", &u, &v) && (u+v)){         //构造对除自身外开关的影响，自身是系数也是未知量
87             a[v-1][u-1] = 1;
88         }
89         for(int i = 0; i < N; i++){                     //结果
90             a[i][N] = st[i]^ed[i];                      //这里异或相当于对2取模运算
91         }
92         int ans = Gauss(N, N);
93         if(ans == -1) printf("Oh,it's impossible~!!\n");    //无解
94         else printf("%d\n", 1<<ans);                        //2的ans次方，因为有ans个自由元
95     }
96     return 0;
97 }

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