数值分析实验：误差的影响

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1 题目

利用 n 阶泰勒展开多项式 $\sum_{i=0}^{x}(\frac{x^{i}}{i!})$ ，计算函数 $f(x)=e^{x}$ 在给定点 $x$ 的值。
要求：绝对误差在最大阶数　 $MAXN$ 以内达到给定精度 $EPS$
使得： $|\sum_{i=0}^{x}(\frac{x^{i}}{i!})-e^{x}| < EPS$，并且 $n < MAXN$。

函数接口定义：double Exp_Calculate( double x )
其中 $x$ 为给定点，函数返回达到精度要求的近似 $e^{x}$ 的值。
常数 $MAXN$ 和 $EPS$ 在裁判程序中定义。
若无法在 $MAXN$ 次叠加内达到精度，则函数返回 $-1$ 。

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2 c++代码实现

2.0 程序目录

2.1 伪代码

2.2 main.cpp

2.3 func.h

2.4 input.txt

2.5 output.txt

2.1 伪代码

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伪代码：Exp_Calculate

输入：函数近似求解的自变量

输出：函数近似求解的因变量，若无法在 $MAXN$ 次叠加内达到精度，则函数返回 $-1$

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01：init $temp$ , $pow$ , $factrial$ , $sum$

02： $temp \leftarrow |x|$

//累加求和，近似求解

03：for 　 $i=1$　 to 　 $MAXN$

04：　　 $pow \leftarrow x^{i}$

05：　　 $i! \leftarrow factrial$

06：　　 $sum \leftarrow \frac{pow}{factorial}$

07：end

08：if 　 $x < 0$ 　then

09：　　 $sum \leftarrow \frac{1}{sum}$

10：end if

11：if 　 $|sum - e^{x}| < EPS$ 　then

12：　　return 　sum

13：else

14：　　return　 -1

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2.2 main.cpp

#include <cmath>
#include <iostream>

#define EPS 0.00001
#define MAXN 20

using namespace std;

double Exp_Calculate(double x);

int main()
{
    double x;

    freopen("test.txt", "r", stdin);

    while(scanf("%lf", &x) != EOF){
            //cin>>x
        printf("%.4lf\n", Exp_Calculate(x));
    }

    fclose(stdin);
    //关闭文件

    return 0;
}

#include "func.h"

2.3 func.h

#ifndef FUNC_H_INCLUDED
#define FUNC_H_INCLUDED

double Exp_Calculate(double x){

    double pow = 1.0;
    double factorial = 1.0;
    double sum = 1.0;

    double temp=0;

    //化负为正
    //避免两个较小数的相减
    if(x<0)
        temp = -x;
    else
        temp = x;

    //求taylor级数，近似求解
    for(int i=1;i<MAXN;i++){
        pow *= temp;
        factorial *= (double)i;
        sum += (pow)/factorial;
    }

    //再化负为正
    if(x<0)
        sum = 1.0/sum;


    if(abs(sum - exp(x)) < EPS)
        return sum;
    else
        return -1;
}


#endif // FUNC_H_INCLUDED

2.4 input.txt

1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 

2.5 output.txt

2.7183
7.3891
20.0855
54.5981
-1.0000
-1.0000
0.3679
0.1353
0.0498
0.0183
0.0067
0.0025

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3 难点解析 – func.h

3.1 对泰勒级数近似求解的原理与构造

要求：按照公式编写即可，尽可能节约内存

3.2 降低数值计算中的误差积累

避免：：小数减小数

根本原因：：计算机所使用二进制01代码无法准确表示某些带小数位的十进制数据。

过程分析：：当x为负数时，在sum累加求和过程中，会出现小数减小数，从而造成误差累计

解决方法：：将 $e^{-x}$ 转化为计算 $e^{x}$ ，最后求得 $\frac{1}{e^{x}}$，即 $e^{-x}$，就可以减小误差了

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4 误差分析

4.1 计算机程序演算基本步骤：

1）建模：实际问题建立数学模型

2）数值化：将数学问题转化为数值问题

3）算法设计

4）根据算法编程计算

4.2 存在的误差

1）模型误差（Modeling Error）：数学模型是对具体问题忽略次要因素进行抽象而获得的，本身即是问题的近似，由此产生的误差为模型误差

2）观测误差（Observation Error）：数学模型中包含（依赖）的参数如温度、密度、长度、时间、电压等由人的观测或工具测量获得，与实际数据存在误差，称为观测误差

3）方法误差（Method Error）（截断误差 Truncation Error））算法中包含的计算公式如泰勒公式等本身是一种求解的近似（连续的离散化处理，无穷的有限话处理），由此产生的误差称为方法误差或截断误差

4）舍入误差（Roundoff Error）：计算机中的数（机器数）是具有有限精度的实数的有限子集，称为浮点数（floating number），由于计算时的四舍五入，或者因计算机的字长有限而使原始数据只能用有限位数表示，由此产生的误差为舍入误差

4.3 设计算法过程中减小误差的tips

保证数值稳定性

（1）控制舍入误差的传播

（2）合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止大数吃小数

（3）避免两个相近数相减

（4）避免接近0的数左除数，防止溢出

（5）简化计算步骤，减少运算次数

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Author

lance

2018·9·18