Implement int sqrt(int x).
Compute and return the square root of x, where x is guaranteed to be a non-negative integer.
Since the return type is an integer, the decimal digits are truncated and only the integer part of the result is returned.
Example 1:
Input: 4
Output: 2
Example 2:
Input: 8
Output: 2
Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since
the decimal part is truncated, 2 is returned.分析：
题目来源于LeetCode 第69题（https://leetcode.com/problems/sqrtx/），据说这道题有好几种做法，先记录下今天的方法。
求一个数的平方根，但是不需要求得精确值（不需要小数），只需要得到一个整数值就可以了。
拿到题目后会想，最简单肯定是给定x，对小于等于x的所有整数遍历一下就得到了，不过这样效率比较差，有没有更好的方法呢？
第一种想法是尝试利用sqrt(ab) < (a+b)/2的关系，但是好像没有什么用。第二种想法是在第一种想法的基础上发现一个规律：
当x >= t**2 时，只要尝试小于等于 x/t 的整数就好了，比如当x >= 16时，应该尝试 x/4 的整数，但是这种思路需要尝试x的范围，也不是很方便。最后在第二种想法的基础上想到可以利用下二分法进行尝试，时间复杂度为logn，还是可以接受的。
具体思路是，用二分法按mid值的平方大于或小于x来逼近那个整数，而当mid值等于左右区间中间点时，该mid值即为所要的整数。
代码：
class Solution(object):
def mySqrt(self, x):
"""
:type x: int
:rtype: int
"""
if x == 0:
return 0
if x <= 3:
return 1
left, right = 1, x
mid = -1
while mid != (left + right) / 2:
mid = (left + right) / 2
if mid ** 2 > x:
right = mid
else:
left = mid
return mid
2018.11.21补充牛顿法：
之前就听说过这道题可以用牛顿法来求解。牛顿法可以用来求高阶方程的根，我们有两种方式能得到牛顿法的迭代公式，第一种是对f(x)进行在x0点泰勒展开，忽略掉二阶及高阶项，令 0=f(x*)≈f(x0)+f'(x0)(x* - x0) ,近似得到 x*≈x1=x0 - f(x0)/f'(x0)，再在x1点进行泰勒展开，得到 x2=x1 - f(x1)/f'(x1)，由此得到迭代公式 xn_1 = xn - f(xn) / f'(xn_1) ,通过迭代公式可以快速逼近 x* . 第二种方式是通过切线，构建切线，以切线近似f(x), 同样得到迭代公式，而当切线无限逼近(x*, f(x*)) 时，切线的零点可以近似看做f(x)的零点。当然牛顿法使用有一个前提，就是 f(x) 满足二阶可导，此时牛顿法可以收敛。
按牛顿法写了源码如下：
def mySqrt(self, x):
"""
:type x: int
:rtype: int
"""
if x == 0:
return 0
if x <= 3:
return 1
xn_1, xn = 1000, 8.0
while True:
xn_1 = (xn**2 + x) / (2 * xn)
if int(xn_1) == int(xn):
break
xn = xn_1
return int(xn_1)在查看了其他博客代码后，优化代码如下：
def mySqrt(self, x):
xn = x
while xn * xn > x:
xn = (xn + x / xn) / 2
return xn直观感受，牛顿法的迭代效率应该会优于二分法，毕竟牛顿法还考虑到了导数，是一种非线性的查找。不过实际提交运行发现，三个代码的运行效率并没有太大差别。