分支限界法：单源最短路径--dijkstra算法

单源最短路径–dijkstra算法

前面已经多次介绍过dijkstra算法是贪心算法，是动态规划，实际上可以从分支限界的角度来理解；

分支限界法

分支限界法，实际上就是回溯法，一般意义的回溯法是基于深度优先搜索，也可以配合限界函数剪枝，通常分支限界法基于宽度优先搜索，通过队列或者优先级队列实现。
剪枝的策略：不相邻的边剪掉，二是结点控制关系的路径剪掉，两条路径到达同一个顶点，在解空间树上是属于两条不同的路径，把路径长的节点后面的分支剪掉

代码实现如下：

import numpy as np
import heapq
class dijkstra:
    def __init__(self,graph,start):
        # 邻接表
        self.graph = graph
        # 顶点个数
        self.num = len(graph)
        #源点
        self.start = start
        # 已知最短路径，又叫当前最优值,并初始化
        self.dist = {vertex:np.Inf for vertex in graph}       
        self.dist[start] = 0.0
        # 初始化优先级队列
        self.queue = []
        heapq.heappush(self.queue,(0.0,start))
        #追踪解
        self.parent = {start:None}
        
    def shortest_Path(self):
             
        while self.queue:
             #取出根节点
            enode = heapq.heappop(self.queue)
            distance = enode[0]
            vertex = enode[1]
            # 取邻接的边，实际上过滤了不相邻的边
            # 这里可以写成 for j in range(self.num),
            # 看成完全n叉树，也可以看成随机叉树的处理
            for j in self.graph[vertex].keys():
                # 他们都叫这个为控制约束，两条到某同一点的路径，长的那一条后面就被剪掉了
                # 也就是贪心法里面的贪心策略
                if distance + self.graph[vertex][j] < self.dist[j] :
                    self.dist[j] = distance + self.graph[vertex][j]
                    self.parent[j] = vertex
                    
                    heapq.heappush(self.queue,(self.dist[j],j))
    
    def print_Result(self):
        print(self.parent)
        print(self.dist)

对比基于贪心策略优先级队列实现方式,就多了一步：if v not in visit，也就是标记那些点已经达到了最短距离，就没有必要再算了，做了进一步剪枝：

def dijkstra_test(graph,start):
    pqueue = []
    heapq.heappush(pqueue,(0.0,start))
    
    visit = set()
    parent = {start:None}
    distance = {vertex:np.Inf for vertex in graph}
    distance[start] = 0.0
    
    
    while pqueue:
        pair = heapq.heappop(pqueue)        
        dist = pair[0]
        vertex = pair[1]
        visit.add(vertex)
        
        edges = graph[vertex]
        for v in edges:
            if v not in visit:
                if dist + graph[vertex][v] < distance[v]:
                    heapq.heappush(pqueue,(dist + graph[vertex][v],v))
                    distance[v] = dist + graph[vertex][v]
                    parent[v] = vertex 
                    
    print(parent)
    print(distance)        

对比测试结果：

#%%
g = {'A':{'B':1,'C':2},
     'B':{'A':1,'C':3,'D':4},
     'C':{'A':2,'B':3,'D':5,'E':6},
     'D':{'B':4,'C':5,'E':7,'F':8},
     'E':{'C':6,'D':7,'F':9},
     'F':{'D':8,'E':9,'G':10},
     'G':{'F':10}
    }

dij = dijkstra(g,'D')
dij.shortest_Path()
dij.print_Result()

dijkstra_test(g,'D')

{'D': None, 'B': 'D', 'C': 'D', 'E': 'D', 'F': 'D', 'A': 'B', 'G': 'F'}
{'A': 5.0, 'B': 4.0, 'C': 5.0, 'D': 0.0, 'E': 7.0, 'F': 8.0, 'G': 18.0}
{'D': None, 'B': 'D', 'C': 'D', 'E': 'D', 'F': 'D', 'A': 'B', 'G': 'F'}
{'A': 5.0, 'B': 4.0, 'C': 5.0, 'D': 0.0, 'E': 7.0, 'F': 8.0, 'G': 18.0}