单源最短路径(Dijkstra算法)

题目内容：

 有5个城市(A,B,C,D,E),其中每个城市到其他城市的直达距离已知，两个城市之间只有一条公路。计算从城市A到其他任意城市的最短路径距离。

输入描述

4行数据， 第一行是A到(B,C,D,E)的直达距离，第二行是B到（C,D,E）的直达距离，。。。，第4行是D到E的直达距离。

输出描述

A城市到(B,C,D,E)的最短距离。

输入样例

输出样例

2 3 4 4

（1）解题思路：

利用Dijstra算法，将问题变化为一个适合贪心算法的子集选择问题。

定义M为一个城市集合：其中每个城市X，存在一条从源点A城市到X的全局最短路径，并且该最短路径不包含A之外的城市。

①（即：当城市集合M = {A}时，该题目中的初始dis[] = {0, 2, 3, 4, 5}）

定义N = 全部城市-M集合，需要从N中选择一个城市X进入M集合。此时在dis[]中选择最短的路径，即min = 2, minpos = B(即哪个城市);

根据所选择的第二个点X = B，此时城市集合M = {A, B}，在此时更新从A到任意一个城市是否经过B点的最短路径

②（M= {A, B}, 更新后dis[] = {0, 2, 3, 4, 4}）

再在dis[]中选择最短的路径，即min = 3， minpos = C;

根据所选择的第二个点X = C，此时城市集合M = {A, B, C}，在此时更新从A到任意一个城市是否经过C点的最短路径

③（M= {A, B, C},更新后dis[] = {0,2, 3, 4, 4}）

再在dis[]中选择最短的路径，即min = 4， minpos = D;

根据所选择的第二个点X = D，此时城市集合M = {A, B, C, D}，在此时更新从A到任意一个城市是否经过D点的最短路径

④（M= {A, B, C,D}, 更新后dis[] = {0, 2, 3, 4, 4}）

再在dis[]中选择最短的路径，即min = 4， minpos = E;

根据所选择的第二个点X = E，此时城市集合M = {A, B, C, D, E}，在此时更新从A到任意一个城市是否经过E点的最短路径

⑤（M= {A, B, C,D, E}, 更新后dis[] = {0, 2, 3, 4, 4}）

输出答案为A→B, A→C, A→D, A→E 即(2, 3, 4, 4).

（2）其中利用的两个定理：

1.如果从u→v点的最短路径L={u, , x, , y, , v}, 则L上的子段l= (x, , y)也是最短路径。

2.所有N中的顶点中，最短的局部最短路径是全局最短路径。

（3）证明：略

代码：

#include <iostream>
#define INFINITE 0x7fffffff
using namespace std;

int main() {

	int dis[5] = { 0 };
	bool inM[5] = { 0 };//表示是否已进入M集合
	int cost[5][5] = { 0 };
	for(int i = 0; i < 5; i++)
		for (int j = 0; j < 5; j++)
		{
			if (i < j)
				cin >> cost[i][j];
			cost[j][i] = cost[i][j];
		}//输入

	for (int i = 0; i < 5; i++)
		dis[i] = cost[0][i];//第1步的dis[]

	inM[0] = 1;//第一个城市A自然是进入了M集合

	for (int i = 1; i <= 4; i++)
	{
		int min = INFINITE;
		int minpos = 0;
		for(int j = 0; j < 5; j++)
			if (inM[j] == 0 && dis[j] < min) {
				//没有进入M集合的并且路径最短
				min = dis[j];
				minpos = j;
			}
		inM[minpos] = 1;
		for(int j = 0; j < 5; j++)
			if (inM[j] == 0 && dis[j] > dis[minpos] + cost[minpos][j])
				dis[j] = dis[minpos] + cost[minpos][j];
			//是否经过这个minpos，更新dis[]
	}
	for (int i = 1; i < 5; i++)
		cout << dis[i] << " ";//输出
	return 0;
}

单源最短路径(Dijkstra算法)

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