单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。
一.最短路径的最优子结构性质
该性质描述为：
如果P(i,j)={Vi…Vk…Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。
下面证明该性质的正确性：
假设P(i,j)={Vi…Vk…Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P’(k,s)，那么P’(i,j)=P(i,k)+P’(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
二、算法描述
2.1 算法思想
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设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
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在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。
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此外，每个顶点上标记一个距离，该距离就是当前步骤下，从v到此顶点的最短路径长度。
2.2 算法步骤
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v到源点的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u为邻接结点，则<u,v>有权值，若u不是v的邻接结点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离源点v最小的顶点k，把k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离：若从源点v 经过顶点k 到顶点u的距离 比 原来标记的距离短，则修改顶点u的距离值为顶点k上标记的距离加上<k,v>的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图：
