【WOJ 4240】约数个数

【题目】

题目描述：

给出整数 $x$，求它的约数个数

为了加大难度，有 $m$ 次询问，将每次询问的答案求和然后模 $10^9+7$

输入格式：

第一行是一个整数 $m$

第二行是整数 $q_1$， $a$， $b$， $c$

$q_1$ 表示第一次询问的数字

第 $i$ 次询问 $q_i=(q_{i−1}∗a+b)\%c$

输出格式：

所有询问的答案之和模 $10^9+7$

样例数据：

输入
2
2 2 1 9

输出
4

提示：

$100\%$ 的数据保证 $m\leq 3\times 10^6, a,b,c\leq10^7,q_i≥1,c≥1$。

【分析】

看到这道题的数据范围， $q$ 是 $10^7$ 级别的，所以应该是 $O(n)$ 的复杂度

然后打了个暴力，去看正解，发现是用线性筛来筛约数个数，然后就学了一下

首先，新定义两个数组 g[i] 和 num[i]，g[i] 表示 $i$ 的约数个数，num[i] 表示 $i$ 最小质因数的个数

举个例子，对于 12，g[12]=6，num[12]=2（因为 12=2*2*3）

有一个结论，如果把一个数分解成 $p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_k}$，那么一个数的约数个数应为 $\prod ^{\;\,k}_{i=1}(a_i+1)$

现在分三种情况讨论一下：

1、若 i 为质数，那么显然 g[i]=2,num[i]=1

2、若 i 为合数

由于在线性筛中，一个数只会被它的最小质因数和除它以外的最大因数筛掉，那么就设这个最小质因数为 $p$，这个因数为 $x$

（1）若 $x$ 为 $p$ 的倍数，此时 $p$ 就是 $i$ 和 $x$ 的最小质因数，也即若把 $x$ 表示成 (num[x]+1)*k（ $k$ 为其他的质因个数 +1 的乘积）， $i$ 就可以表示成 (num[x]+2)*k

$\therefore$ 此时， g[i]=g[x]/(num[x]+1)*(num[x]+2),num[i]=num[x]+1

（2）若 $x$ 不为 $p$ 的倍数，因为 $p$ 是 $i$ 的最小质因数，所以易知 num[i]=1，并且 $i$ 相当于只是在 $x$ 的基础上多乘了一个 $p$，所以 g[i]=g[x]*2

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 10000005
#define Mod 1000000007
using namespace std;
int prime[N],g[N],num[N];
bool mark[N];
void linear_sieves()
{
	int i,j,sum=0;
	memset(mark,true,sizeof(mark));
	mark[0]=mark[1]=false;g[1]=1;
	for(i=2;i<N;++i)
	{
		if(mark[i])
		{
			g[i]=2;
			num[i]=1;
			prime[++sum]=i;
		}
		for(j=1;j<=sum&&i*prime[j]<N;++j)
		{
			mark[i*prime[j]]=false;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				num[i*prime[j]]=num[i]+1;
				g[i*prime[j]]=g[i]/(num[i]+1)*(num[i]+2);
				break;
			}
			num[i*prime[j]]=1;
			g[i*prime[j]]=g[i]*2;
		}
	}
}
int main()
{
	linear_sieves();
	int m,i,a,b,c,now;
	scanf("%d%d%d%d%d",&m,&now,&a,&b,&c);
	int ans=g[now];
	for(i=2;i<=m;++i)
	{
		now=(1ll*now*a+b)%c;
		ans=(ans+g[now])%Mod;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}