两个数学问题

排列组合

假设有一盒袜子：共三种颜色，白、灰、黑各 6 只，一共 18 只。从盒子中随机拿出袜子，不放回。（tip: 两只袜子颜色相同即为匹配）

1. 假设从盒子中拿了两只袜子，匹配的概率是多少？
   

   $$P = \frac{ \binom{6}{2} + \binom{6}{2} + \binom{6}{2} } { \binom{18}{2} } = \frac{ \frac{6 \times 5}{2} \times 3 }{ \frac{18 \times 17}{2} } = \frac{5}{17}$$

   思路：
   先考虑白色,
   情况数：6只取2只;
   灰黑同理,
   乘以3.

2. 假设从盒子里拿出三只袜子，拿出匹配的袜子的概率是多少？（三只颜色都相同也属于匹配。）
   

   $$P = \frac{ [\binom{6}{3} + \binom{6}{2} \cdot 12] \cdot 3}{ \binom{18}{3} } = \frac{25}{34}$$

   思路：
   先考虑白色，
   若3只中两只为白，
   情况数：6只取2只，剩余一只12种可能；
   若3只都为白，
   情况数：6只取3只；
   灰黑同理,
   乘以3.

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贝叶斯定理

有A和B两个盒子，分别装满了大小相同的红球和绿球。其中A 约 {2/3 红、1/3 绿}，B 约 {1/4 红、3/4 绿}。假设盒子足够大，抽出的样本不会对比例造成影响。

1. 随机选择了一个盒子并随机拿出一个球，它是红的！问选择了A的概率是多少？
   $$P = \frac{P(A)P(red|A)}{P(A)P(red|A) + P(B)P(red|B)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}{ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{8}{11}$$
2. 再拿出两个球，都是绿的。现在，选择了A概率是多少？（tip：一共拿出了三个球，一个红，两个绿）
   $$P = \frac{ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} }{ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4} } = 0.3450$$