题意
有 种链子,第 种链子长度为 ,有 条,求用这些链子组合出长度为n的链子的方案数。
题解
开始居然没看出来这是一道dp题
令
为凑出长度为
的链子的方案数
则有;
时间复杂度为
,显然要T。
考虑优化。发现右半部分与卷积(
)类似。所以考虑使用FFT
然而如果说每次转移暴力FFT,则时间复杂度瞬间飙至
,不如不优化。
于是我们介绍一个新科技:CDQ分治。
下面介绍一下它的基本步骤:
对
1、求解
2、计算 对 的贡献(对 答案的影响)
3、求解
继续yy优化。我们用
表示求解
假设求出
,令
为
对f[i]的贡献,
由定义:
由
的过程可知,
已知,
将会在
中计算出,所以只需求
即可。
的过程时间复杂度为
,FFT的时间复杂度为
,故总时间复杂度为
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mn = 100005, mod = 313;
const double pi = acos(-1.0);
struct com{
double r, i;
com(double a = 0, double b = 0) : r(a), i(b) {}
com operator +(const com& t) {return com(r + t.r, i + t.i);}
com operator -(const com& t) {return com(r - t.r, i - t.i);}
com operator *(const com& t) {return com(r * t.r - i * t.i, r * t.i + i * t.r);}
}x[mn << 1], y[mn << 1], w, wn;
int a[mn], f[mn];
void change(com *x, int n)
{
for(int i = 1, j = n >> 1; i < n - 1; i++)
{
if(i < j)
swap(x[i], x[j]);
int k = n >> 1;
while(j >= k)
j -= k, k >>= 1;
j += k;
}
}
void fft(com x[], int n, int flag)
{
change(x, n);
for(int i = 2; i <= n; i <<= 1)
{
wn = com(cos(flag * 2 * pi / i), sin(flag * 2 * pi / i));
for(int j = 0; j < n; j += i)
{
w = com(1, 0);
for(int k = j; k < j + i / 2; k++)
{
com u = w * x[k + i / 2], v = x[k];
x[k] = v + u, x[k + i / 2] = v - u, w = w * wn;
}
}
}
if(flag == -1)
for(int i = 0; i < n; i++)
x[i].r /= n;
}
void cdq(int l, int r)
{
if(l == r)
{
f[l] += a[l], f[l] %= mod;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1, i;
cdq(l, mid);
int len = 1;
while(len <= r - l + 1)
len <<= 1;
for(i = 0; i < len; i++)
x[i] = y[i] = com(0, 0);
for(i = l; i <= mid; i++)
x[i - l] = com(f[i], 0);
for(i = 1; i <= r - l + 1; i++)
y[i - 1] = com(a[i], 0);
fft(x, len, 1), fft(y, len, 1);
for(i = 0; i < len; i++)
x[i] = x[i] * y[i];
fft(x, len, -1);
for(i = mid + 1; i <= r; i++)
f[i] += int(x[i - l - 1].r + 0.5), f[i] %= mod;
cdq(mid + 1, r);
}
int main()
{
int n, i;
while(~scanf("%d", &n) && n)
{
for(i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]), a[i] %= mod, f[i] = 0;
cdq(0, n);
printf("%d\n", f[n]);
}
}