二阶矩过程

随机变量序列： $\{X_n\}$

依概率收敛于X： $\lim_{n\to\infty}P\{\left | X_n-X \right |\geq \varepsilon \}=0$ ，记为 $\lim_{n\to\infty}X_n=X$ （a.s.）

依概率1收敛于X： $P\{\lim_{n\to\infty}X_n=X\}=1$ ，记为 $\lim_{n\to\infty}X_n=X$ （p）

依分布收敛于X：分布函数列 $\{F_n(x)\}$ 弱收敛于，随机变量X的分布函数F(x)，记为 $X_n\overset{d}{\rightarrow}X,n\to\infty$

二阶矩空间：

$H=\{X:E[\ \left | X \right |^2 \ ]<+\infty\}$

H空间上的范数：

$\left \| X \right \|=[E(\left | X \right |^2)]^{1/2}$

随机变量序列的均方极限：

定义：设 $X,X_{n}\in H, n=1,2,...$ ，若

$\lim_{n \to \infty }d(X_{n},X)=\lim_{n \to \infty }\left \| X_{n}-X \right \|=0$

称随机变量序列{ $X_{n},n\geq 1$ }均方收敛于随机变量X，称X为 $X_{n}$ 的均方极限，记为 $\l.i.m_{n->\infty} X_{n} = X$

ps：当极限运算直接接触随机变量时，用符号l.i.m

柯西序列：

若二阶矩空间H中的随机变量序列 $X_{n},n\geq 1$ 满足

$\lim_{n,m->\infty} d(X_{n},X_{m}) =\lim _{n,m->\infty}\left \| X_{m}-X_{n} \right \|=\lim _{n,m->\infty}E\{\left | X_{m}-X_{n} \right |^{2}\}=0$

则称 $\{X_{n},n\geq 1\}$ 为柯西序列。

柯西均方收敛准则：

二阶矩空间H中的随机变量序列 $\{X_{n},n\geq 1\}$ 均方收敛，的充分必要条件为，它是柯西列。

均方极限：

定义：设{X(t),t∈T}是二阶矩随机过程，X∈H，如果

$\lim_{t \to t_{0}} d(X(t),X) = \lim_{t \to t_{0}} \left \| X(t)-X) \right \| = 0$ ，则称X(t)均方收敛于X，记为 $\l.i.m_{t->t0} X(t) = X$

洛易夫均方收敛准则：

{X(t),t∈T}是二阶矩随机过程，X(t)在 $t_{0}$ 处收敛，的充分必要条件是， $\lim_{(s,t) \to (t_{0},t_{0}) } E(X(s)\overline{X(t)})$ 存在。

均方连续：

定义：如果二阶矩过程{X(t),t∈T}满足， $\l.i.m_{t->t0} X(t) = X(t_{0})$ ，则称{X(t),t∈T}在 $t_{0}\in T$ 处均方连续。

均方连续准则：

二阶矩过程{X(t),t∈T}在t∈T处均方连续，的充分必要条件是，相关函数R(s,t)在 $(t_{0},t_{0})$ 处连续。

均方导数：

定义：称二阶矩过程{X(t),t∈T}在 $t_{0}\in T$ 点上可微，若均方极限

$\l.i.m_{\Delta t->0} \frac{X(t+\Delta t) -X(t)}{\Delta t}$

存在，记为 ${X}'(t_{0})$ ，并称为{X(t),t∈T}在 $t_{0}$ 点的均方导数与均方微分。

广义二阶导数：

定义： $\lim_{\Delta s->0,\Delta t->0} \frac{f(s+\Delta s,t+\Delta t) -f(s+\Delta s,t)-f(s,t+\Delta t)+f(s,t)}{\Delta t \Delta s}$

存在，称此极限为f(s,t)在(s,t)处的广义二阶导数。

均方可微准则：

实二阶矩过程{X(t),t∈T}在 $t_{0}\in T$ 处均方可微，的充要条件是，相关函数R(s,t)在 $(t_{0},t_{0})$ 处广义二阶可微。

ps：可先查看一阶偏导数是否存在。

均方导数基本性质：

导数过程{ ${X}'(t),t\in T$ }的

1、 $m_{X{}'(t)}=m{}'(t)$

2、 $R_{X{}'}(s,t)=R_{st}{}''(s,t)=R_{ts}{}''(s,t)$

3、 $R_{X{}'X}(s,t)=R_{s}{}'(s,t)$ $R_{XX{}'}(s,t)=R_{t}{}'(s,t)$

随机积分：

均方积分准则：

设{X(t),t∈[a,b]} 是二阶矩过程，f(t)，t∈[a,b]是普通函数，f(t)X(t)在[a,b]上均方可积，的充分必要条件是，二重积分

$\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f(s)\overline{f(t)}R(s,t)dsdt$

存在，其中R(s,t）是过程X(t)的自相关函数。

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