入门数学（一）最大公约数，最小公倍数，分数

1，最大公约数

我们求 a 和 b的最大公约数（最大的因数），一般使用gcd（a,b）来表示a 和 b 的最大公约数，而求解最大公约数常用欧几里得算法来求，（辗转相除法）。

我们先来推演一下过程

设a , b均为正整数，则gcd（a,b） = gcd(a, a%b)

证明原理：

a = kb + r;

r = a- kb;

设 d 是 a 和b 的公约数，所以 r = a- kb中也是d 的倍数，所以d 也是 r 的因数.

所以a 和 b 和 r 有公约数 d, 又因为 r = a % b ,所以 b 和 a % b有公约数 d。

又因为d是任意的得到 a 和b 的公约数 = b 和 a % b的公约数。

同理由 a = kb + r，可证 b 和 a%b 的公约数都是a 和 b的公约数。

因此a和b的公约数与 b 和 a%b的公约数全部相等。故最大公约数也相等。

即有 gcd(a, b） = gcd（b, a%b）

毕证

是不是太麻烦，其实有很多人都看不懂，（主要是我也看不懂，但是我记得步骤，知道辗转相除法怎么写啊）除数变被除数，余数变除数，就这样，直到余数为0.除数就是最大公约数

1）递归式：gcd（a,b） = gcd（b，a%b）

2）递归边界：gcd（a，0） = a;

int gcd(int a, int b){
	if(b == 0)	//你在纸上找两数试试 
		return a;
	else
		return gcd(b, a % b); 
}

更简洁的写法

int gcd(int a, int b){
	return !b ? a : gcd(b, a % b); 
}

2，最小公倍数

看到最小公倍数还记得怎么算么？？？

最小公倍数我们一般用 lcm（a, b）来表示

最小公倍数是我们在求最大公约数的基础上求的。

得到 a 和 b的最大公约数d之后，马上得到a 和 b 的最小公倍数， a * b / d。

但是a * b 可能会溢出，所以我们改进一下

a/d *b 或者 a * （b/d）

int lcm(int a, int b){
	return a / gcd(a, b) * b; 
}

3，分数的四则运算

1）分数的表示

一般的我写分数时写的都是假分数，（why?）因为好写。我们可以开一个结构体来存放这个分数

struct Fraction{	//分数 
	int up, down;	//分子， 分母 
};

我们在用这种方法表示时应该注意使用的3个规则

使down（分母）为非负数，那么令分子up为负数即可。
如果该分数恰为0，那么规定其分子为0, 分母为1.
分子和分母没有除了1 以外的公约数（就是最简的分数，不能继续化简）

2）分数的化简

分数的化简还是根据他的三项规则决定的

如果分母为负数，那么令分子 up 和分母 down 都变为相反数。
如果分子up为0，令分母 down为1
约分，求出分子绝对值和分母绝对值的最大公约数d，然后令分子分母同时除以d（15和 -5）的最大公约数是5，负数和正数的最大公约数还是正数。

Fraction reduction(Fraction result){
	if(result.down < 0){
		result.up = -result.up;
		result.down = - result.down;
	}
	if(result.up == 0){
		result.down = 1;
	}
	else{
		int d = gcd(abs(result.up), abs(result.down));
		result.up /= d;
		result.down /= d;
	}
	return result;
}

3）分数的运算

1.分数加法

Fraction add(Fraction f1, Fraction f2){
	Fraction result;
	result.down = f2.down * f1.down;
	result.up = f1.up * f2.down + f2.up * f1.down; 
	return reduction(result);
}

2.分数减法

Fraction minu(Fraction f1, Fraction f2){
	Fraction result;
	result.down = f2.down * f1.down;
	result.up = f1.up * f2.down - f2.up * f1.down; 
	return reduction(result);
}

3.分数乘法

Fraction multi(Fraction f1, Fraction f2){
	Fraction result;
	result.up = f1.up * f2.up;
	result.down = f1.down * f2.down;
	return reduction(result);
}

4.分数除法

Fraction divide(Fraction f1, Fraction f2){
	Fraction result;
	result.up = f1.up * f2.down;
	result.down = f1.down * f2.up;
	return reduction(result);
}

除法需要注意 f2.up是否为0，只有当f2.up不为0时，才能用上述公式。

4）分数的输出

输出前化简
分母为1则说明是整数
分子绝对值大于分母时（假分数），我们需要按带分数的形式输出，（整数分数）整数部分为 r.up / r.down,分子部分为 abs（r.up % r.down）分母部分为 r.down.
真分数直接输出

void showResult(Fraction r){
	result r = reduction(r);
	if(r.down == 1)
		printf("%lld", r.up);
	else if(abs(r.up) > r.down){
		printf("%d %d/%d", r.up / r.down, abs(r.up) % r.down, r.down);
	}
	else{
		printf("%d/%d", r.up, r.down);
	}
}

强调：

由于分数的乘法和除法过程中可能使分子或者分母超过int型范围，一次在一般情况下分子分母用 long long型，但是long long 型不能存负数。