[BZOJ]5068: 友好的生物 放缩

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Solution

猜到复杂度……却依然不会做……
这个方法感觉和不等式证明中的放缩法有点类似，所以我个人这样称呼……
先把 $C_i$乘进去，把式子写出来： $\sum_{i=1}^{k-1}|a_i-b_i|-|a_k-b_k|$绝对值很烦，考虑怎么去掉它，我们可以直接 $2^{k-1}$枚举前 $k-1$个绝对值符号中的正负，然后按最后一个值排序，直接求解，也就是把式子变成这样： $\sum_{i=1}^{k-1}\pm(a_i-b_i)-(a_k-b_k)$因为最优解一定是使得前面的 $k-1$项全部取到正，所以这样也能求出最大值。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int Maxn=100010;
const int inf=2147483647;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
int n,k,c[6],b[6];
struct P{int a[6];}p[Maxn];
bool cmp(P a,P b){return a.a[k]<b.a[k];}
int main()
{
    LL ans=-(1LL<<60);
    n=read(),k=read();
    for(int i=1;i<=k;i++)c[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=k;j++)
    p[i].a[j]=read()*c[j];
    sort(p+1,p+1+n,cmp);
    /*for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=k;j++)
        printf("%d ",p[i].a[j]);
        puts("");
    }*/
    for(int S=0;S<(1<<(k-1));S++)
    {
        LL mx=0;
        for(int i=0;i<k-1;i++)
        if((1<<i)&S)b[i+1]=1;else b[i+1]=-1;
        for(int i=1;i<k;i++)mx+=p[1].a[i]*b[i];
        mx+=p[1].a[k];
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            LL t=-p[i].a[k];
            for(int j=1;j<k;j++)t-=p[i].a[j]*b[j];
            ans=max(ans,t+mx);
            mx=max(mx,-t);
        }
    }
    printf("%lld",ans);
}