巴特沃思低通滤波器
n级巴特沃思低通滤波器(BLPF)定义如下：
D0为截至频率距原点的距离，D(u,v)是点(u,v)距 原点的距离
不同于ILPF，BLPF变换函数在通带与被滤除的频率 之间没有明显的截断
当D(u,v)=D0时，H(u,v)=0.5(最大值是1，当 D(u,v)=0)
应用：可用于平滑处理，如图像由于量化不足产生虚假轮 廓时，常可用低通滤波进行平滑以改进图像质量。通常， BLPF的平滑效果好于ILPF（振铃现象）。
效果图：
d0=5,n=2
d0=30,n=2:
d0=100,n=2:
代码实现：
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<iostream>
using namespace std;
using namespace cv;
Mat freqfilt(Mat &scr,Mat &blur);
Mat Butterworth_Low_Paass_Filter(Mat &src, float d0, int n);
int main( int argc, char *argv[])
{
const char* filename = argc >=2 ? argv[1] : "../data/lena.jpg";
Mat input = imread(filename, IMREAD_GRAYSCALE);
if( input.empty())
return -1;
imshow("input",input);//显示原图
cv::Mat butterworth = Butterworth_Low_Paass_Filter(input, 100, 2);
butterworth = butterworth(cv::Rect(0,0, input.cols, input.rows));
imshow("巴特沃斯", butterworth);
waitKey();
return 0;
}
//*****************巴特沃斯低通滤波器***********************
Mat butterworth_lbrf_kernel(Mat &scr,float sigma, int n)
{
// 阶数n=1 无振铃和负值
// 阶数n=2 轻微振铃和负值
// 阶数n=5 明显振铃和负值
// 阶数n=20 与ILPF相似
Mat butterworth_low_pass(scr.size(),CV_32FC1); //，CV_32FC1
double D0 = sigma;//半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小
for(int i=0;i<scr.rows ; i++ ){
for(int j=0; j<scr.cols ; j++ ){
double d = sqrt(pow((i - scr.rows/2),2) + pow((j - scr.cols/2),2));//分子,计算pow必须为float型
butterworth_low_pass.at<float>(i,j)=1.0 / (1 + pow(d / D0, 2 * n));
}
}
string name = "巴特沃斯低通滤波器d0=" + std::to_string(sigma) + "n=" + std::to_string(n);
imshow(name, butterworth_low_pass);
return butterworth_low_pass;
}
Mat Butterworth_Low_Paass_Filter(Mat &src, float d0, int n)
{
//H = 1 / (1+(D/D0)^2n) n表示巴特沃斯滤波器的次数
//调整图像加速傅里叶变换
int M = getOptimalDFTSize(src.rows);
int N = getOptimalDFTSize(src.cols);
Mat padded;
copyMakeBorder(src, padded, 0, M - src.rows, 0, N - src.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));
padded.convertTo(padded,CV_32FC1); //将图像转换为flaot型
Mat butterworth_kernel=butterworth_lbrf_kernel(padded,d0, n);//理想低通滤波器
Mat result = freqfilt(padded,butterworth_kernel);
return result;
}
//*****************频率域滤波*******************
Mat freqfilt(Mat &scr,Mat &blur)
{
//***********************DFT*******************
Mat plane[]={scr, Mat::zeros(scr.size() , CV_32FC1)}; //创建通道，存储dft后的实部与虚部（CV_32F，必须为单通道数）
Mat complexIm;
merge(plane,2,complexIm);//合并通道 （把两个矩阵合并为一个2通道的Mat类容器）
dft(complexIm,complexIm);//进行傅立叶变换，结果保存在自身
//***************中心化********************
split(complexIm,plane);//分离通道（数组分离）
// plane[0] = plane[0](Rect(0, 0, plane[0].cols & -2, plane[0].rows & -2));//这里为什么&上-2具体查看opencv文档
// //其实是为了把行和列变成偶数 -2的二进制是11111111.......10 最后一位是0
int cx=plane[0].cols/2;int cy=plane[0].rows/2;//以下的操作是移动图像 (零频移到中心)
Mat part1_r(plane[0],Rect(0,0,cx,cy)); //元素坐标表示为(cx,cy)
Mat part2_r(plane[0],Rect(cx,0,cx,cy));
Mat part3_r(plane[0],Rect(0,cy,cx,cy));
Mat part4_r(plane[0],Rect(cx,cy,cx,cy));
Mat temp;
part1_r.copyTo(temp); //左上与右下交换位置(实部)
part4_r.copyTo(part1_r);
temp.copyTo(part4_r);
part2_r.copyTo(temp); //右上与左下交换位置(实部)
part3_r.copyTo(part2_r);
temp.copyTo(part3_r);
Mat part1_i(plane[1],Rect(0,0,cx,cy)); //元素坐标(cx,cy)
Mat part2_i(plane[1],Rect(cx,0,cx,cy));
Mat part3_i(plane[1],Rect(0,cy,cx,cy));
Mat part4_i(plane[1],Rect(cx,cy,cx,cy));
part1_i.copyTo(temp); //左上与右下交换位置(虚部)
part4_i.copyTo(part1_i);
temp.copyTo(part4_i);
part2_i.copyTo(temp); //右上与左下交换位置(虚部)
part3_i.copyTo(part2_i);
temp.copyTo(part3_i);
//*****************滤波器函数与DFT结果的乘积****************
Mat blur_r,blur_i,BLUR;
multiply(plane[0], blur, blur_r); //滤波（实部与滤波器模板对应元素相乘）
multiply(plane[1], blur,blur_i);//滤波（虚部与滤波器模板对应元素相乘）
Mat plane1[]={blur_r, blur_i};
merge(plane1,2,BLUR);//实部与虚部合并
//*********************得到原图频谱图***********************************
magnitude(plane[0],plane[1],plane[0]);//获取幅度图像，0通道为实部通道，1为虚部，因为二维傅立叶变换结果是复数
plane[0]+=Scalar::all(1); //傅立叶变换后的图片不好分析，进行对数处理，结果比较好看
log(plane[0],plane[0]); // float型的灰度空间为[0，1])
normalize(plane[0],plane[0],1,0,CV_MINMAX); //归一化便于显示
// imshow("原图像频谱图",plane[0]);
idft( BLUR, BLUR); //idft结果也为复数
split(BLUR,plane);//分离通道，主要获取通道
magnitude(plane[0],plane[1],plane[0]); //求幅值(模)
normalize(plane[0],plane[0],1,0,CV_MINMAX); //归一化便于显示
return plane[0];//返回参数
}