5.6.2 低通滤波器（理想低通+巴特沃斯低通滤波器）

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1.低通滤波器
低通滤波是将频域图像中的高频部分滤除而通过低频部分。图像的边缘和噪声对应于频域图像中的高频部分，而低通滤波的作用即是减弱这部分的能量，从而达到图像平滑去噪的目的。

2.理想低通滤波器
最简单的低通滤波器是理想低通滤波器，基本思想是给定一个频率阈值，将高于该阈值的所有部分设置为0，而低于该频率的部分保持不变。

理想是指该滤波器不能用电子元器件来实现，但是可以通过计算机来模拟。

在VTK中定义了理想低通滤波器，下面我们来看下怎么使用该滤波器来对图像进行低通滤波:

//理想低通滤波器
#include <vtkSmartPointer.h>
#include <vtkJPEGReader.h>
#include <vtkImageFFT.h>
#include <vtkImageIdealLowPass.h>
#include <vtkImageData.h>
#include <vtkImageRFFT.h>
#include <vtkImageCast.h>
#include <vtkImageExtractComponents.h>
#include <vtkImageActor.h>
#include <vtkRenderer.h>
#include <vtkRenderWindow.h>
#include <vtkRenderWindowInteractor.h>

int main()
{
	vtkSmartPointer<vtkJPEGReader> reader = vtkSmartPointer<vtkJPEGReader>::New();
	reader->SetFileName("data\\lena.jpg");
	reader->Update();

	vtkSmartPointer<vtkImageFFT> fftFilter = vtkSmartPointer<vtkImageFFT>::New();
	fftFilter->SetInputConnection(reader->GetOutputPort());
	fftFilter->Update();

	vtkSmartPointer<vtkImageIdealLowPass> lowPassFilter = vtkSmartPointer<vtkImageIdealLowPass>::New();
	lowPassFilter->SetInputConnection(fftFilter->GetOutputPort());
	lowPassFilter->SetXCutOff(0.05); //设置x\y方向上的截断频率
	lowPassFilter->SetYCutOff(0.05);
	lowPassFilter->Update();

	vtkSmartPointer<vtkImageRFFT> rfftFilter = vtkSmartPointer<vtkImageRFFT>::New();//将处理后的频域图像转换至空域图像，
	rfftFilter->SetInputConnection(lowPassFilter->GetOutputPort());              //注意：转换后的图像每个像素值都是一个复数；
	rfftFilter->Update();

	vtkSmartPointer<vtkImageExtractComponents> ifftExtractReal = vtkSmartPointer<vtkImageExtractComponents>::New();
	ifftExtractReal->SetInputConnection(rfftFilter->GetOutputPort());
	ifftExtractReal->SetComponents(0);//提取实部分量

	vtkSmartPointer<vtkImageCast> castFilter = vtkSmartPointer<vtkImageCast>::New();//数据类型转换为unsigned char类型
	castFilter->SetInputConnection(ifftExtractReal->GetOutputPort());
	castFilter->SetOutputScalarTypeToUnsignedChar();
	castFilter->Update();

	vtkSmartPointer<vtkImageActor> originalActor = vtkSmartPointer<vtkImageActor>::New();
	originalActor->SetInputData(reader->GetOutput());

	vtkSmartPointer<vtkImageActor> erodedActor = vtkSmartPointer<vtkImageActor>::New();
	erodedActor->SetInputData(castFilter->GetOutput());

	double leftViewport[4] = { 0.0, 0.0, 0.5, 1.0 };
	double rightViewport[4] = { 0.5, 0.0, 1.0, 1.0 };
	vtkSmartPointer<vtkRenderer> leftRenderer = vtkSmartPointer<vtkRenderer>::New();
	leftRenderer->AddActor(originalActor);
	leftRenderer->ResetCamera();
	leftRenderer->SetViewport(leftViewport);
	leftRenderer->SetBackground(1.0, 0, 0);

	vtkSmartPointer<vtkRenderer> rightRenderer = vtkSmartPointer<vtkRenderer>::New();
	rightRenderer->AddActor(erodedActor);
	rightRenderer->SetViewport(rightViewport);
	rightRenderer->ResetCamera();
	rightRenderer->SetBackground(1.0, 1.0, 1.0);

	vtkSmartPointer<vtkRenderWindow> renderWindow = vtkSmartPointer<vtkRenderWindow>::New();
	renderWindow->AddRenderer(rightRenderer);
	renderWindow->AddRenderer(leftRenderer);
	renderWindow->SetSize(540, 320);
	renderWindow->SetWindowName("Frequency_IdealLowPassFilter");

	vtkSmartPointer<vtkRenderWindowInteractor> interactor = vtkSmartPointer<vtkRenderWindowInteractor>::New();
	interactor->SetRenderWindow(renderWindow);
	renderWindow->Render();
	interactor->Start();

	return 0;
}

运行结果如下：

从结果看，在过滤掉图像的高频部分后，图像变得模糊，丢失了许多细节，另外还可以看到图像会存在一定的振铃效应，这也是理想低通滤波的特点。

首先读入一副图像，通过vtkImageFFT将图像转换到频域空间。vtkImageIdealLowPass对频域图像做理想低通滤波，需要用户设置每个方向的截断频率，相应的设置函数SetXCutOff()和SetYCutOff()。执行完毕后，需要通过vtkImageRFFT将处理后的频域图像转换至空域图像。需要注意的是，转换后的图像每个像素都是一个复数，需要vtkImageExtractComponents将该图像的第一个分量提出出来显示，否则图像不能正确显示。由于傅里叶变换输入输出的数据类型都是double，为了方便显示，还需要将其转换为Unsigned char类型，这里vtkImageCast负责类型转换。
3.巴特沃兹低通滤波器

在实际中经常使用的是巴特沃斯滤波器。巴特沃斯滤波器对应的转移函数（可以看做是一个系数矩阵）是：

                                                  

其中D(u,v)表示频域点(u,v)到频域图像原点的距离，称为截止频率，当D(u,v) = 时，H(u,v)=0.5，即对应的频域能量将为原来的一半。因为巴特沃斯低通滤波器在高低频间的过渡平滑，因此不会出现明显的振铃效应。VTK中实现巴特沃斯低通滤波器的类是vtkImageButterworthLowPass.

/***********************巴特沃兹低通滤波器*****************************************/
#include <vtkSmartPointer.h>
#include <vtkJPEGReader.h>
#include <vtkImageFFT.h>
#include <vtkImageButterworthLowPass.h>
#include <vtkImageRFFT.h>
#include <vtkImageExtractComponents.h>
#include <vtkImageCast.h>
#include <vtkImageActor.h>
#include <vtkRenderer.h>
#include <vtkRenderWindow.h>
#include <vtkRenderWindowInteractor.h>
#include <vtkInteractorStyleImage.h>

int main()
{
	vtkSmartPointer<vtkJPEGReader> reader = vtkSmartPointer<vtkJPEGReader>::New();
	reader->SetFileName("data\\lena-gray.jpg");
	reader->Update();

	vtkSmartPointer<vtkImageFFT> fftFilter = vtkSmartPointer<vtkImageFFT>::New();
	fftFilter->SetInputConnection(reader->GetOutputPort());
	fftFilter->Update();

	vtkSmartPointer<vtkImageButterworthLowPass> lowPassFilter = vtkSmartPointer<vtkImageButterworthLowPass>::New();
	lowPassFilter->SetInputConnection(fftFilter->GetOutputPort());
	lowPassFilter->SetXCutOff(0.05);
	lowPassFilter->SetYCutOff(0.05);
	lowPassFilter->Update();

	vtkSmartPointer<vtkImageRFFT> rfftFilter = vtkSmartPointer<vtkImageRFFT>::New();
	rfftFilter->SetInputConnection(lowPassFilter->GetOutputPort());
	rfftFilter->Update();

	vtkSmartPointer<vtkImageExtractComponents> ifftExtractReal = vtkSmartPointer<vtkImageExtractComponents>::New();
	ifftExtractReal->SetInputConnection(rfftFilter->GetOutputPort());
	ifftExtractReal->SetComponents(0);

	vtkSmartPointer<vtkImageCast> castFilter = vtkSmartPointer<vtkImageCast>::New();
	castFilter->SetInputConnection(ifftExtractReal->GetOutputPort());
	castFilter->SetOutputScalarTypeToUnsignedChar();
	castFilter->Update();
	////////////////////////////////////////////////////
	vtkSmartPointer<vtkImageActor> originalActor = vtkSmartPointer<vtkImageActor>::New();
	originalActor->SetInputData(reader->GetOutput());

	vtkSmartPointer<vtkImageActor> erodedActor = vtkSmartPointer<vtkImageActor>::New();
	erodedActor->SetInputData(castFilter->GetOutput());
	///////////////////////
	double leftViewport[4] = { 0.0, 0.0, 0.5, 1.0 };
	double rightViewport[4] = { 0.5, 0.0, 1.0, 1.0 };
	vtkSmartPointer<vtkRenderer> leftRenderer =	vtkSmartPointer<vtkRenderer>::New();
	leftRenderer->AddActor(originalActor);
	leftRenderer->SetViewport(leftViewport);
	leftRenderer->SetBackground(1.0, 1.0, 1.0);
	leftRenderer->ResetCamera();

	vtkSmartPointer<vtkRenderer> rightRenderer = vtkSmartPointer<vtkRenderer>::New();
	rightRenderer->AddActor(erodedActor);
	rightRenderer->SetViewport(rightViewport);
	rightRenderer->SetBackground(1.0, 1.0, 1.0);
	rightRenderer->ResetCamera();
	
	vtkSmartPointer<vtkRenderWindow> rw = vtkSmartPointer<vtkRenderWindow>::New();
	rw->AddRenderer(leftRenderer);
	rw->AddRenderer(rightRenderer);
	rw->SetSize(640, 320);
	rw->SetWindowName("ButterworthLowPassExample");

	vtkSmartPointer<vtkRenderWindowInteractor> rwi = vtkSmartPointer<vtkRenderWindowInteractor>::New();
	vtkSmartPointer<vtkInteractorStyleImage> style = vtkSmartPointer<vtkInteractorStyleImage>::New();
	rwi->SetInteractorStyle(style);
	rwi->SetRenderWindow(rw);
	rwi->Start();

	return 0;
}

运行结果如下：

vtkImageButterworthLowPass与理想低通滤波器的使用一样。为了便于比较，这里设置X和Y方向的截止频率时，与理想低通滤波器设置一致，从结果来看，巴特沃斯低通滤波器产生的图像更为平滑，不会出现振铃现象。

参考资料：

1.《The Visualization Toolkit – AnObject-Oriented Approach To 3D Graphics (4th Edition)》
2. 张晓东, 罗火灵. VTK图形图像开发进阶[M]. 机械工业出版社, 2015.

所用软件：vtk7.0+visual studio 2013

注：此文知识学习笔记，仅记录完整程序和实现结果，具体原理参见：

https://blog.csdn.net/www_doling_net/article/details/8541534

https://blog.csdn.net/shenziheng1/article/category/6114053/4