Butterworth低通滤波器

Butterworth LPF

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公式

利用一下方程得到一个和图像相同尺寸的滤波器 $H$，进行滤波：
$H(u, v) = \frac{1}{1 + (\frac{D(u, v)}{D_0})^{2n}}$
其中 $D_0$是一个常数，我们称为截止频率
D(u, v)定义如下:
$D(u, v) = [(u - \frac{M}{2})^2 + (v - \frac{N}{2})^2]^{\frac{1}{2}}$
即在频率域中的点距离中心的距离。(通过对空域做中心变换后，我们在经过快速傅里叶变换之后得到的图像的中心将会是 $(\frac{M}{2}, \frac{N}{2})$，中心变换操作可以通过和 $(-1)^{x + y}$做相关得到，可以通过傅里叶变换的平移性得到)

滤波效果

从频域的角度来看，观察我们用来构造滤波器的公式，当维度 $n$保持不变时，随着截止频率 $D_0$的增大，分母越小，分母的增加速度也越小，也就是滤波器从中心往周围扩散的下降趋势变小了，变得较为平坦，我们可以从下图图像的滤波器的变化可以看出，滤波器亮度高的部分逐渐展开变宽。这也意味着更多的高频成分被保留了，图像的细节也就越明显了。

从空域的角度来看，考虑高斯低通滤波器，再考虑高斯滤波器的傅里叶变换，高斯滤波器的傅里叶变换之后还是一个高斯滤波器，那么显然，高斯滤波器傅里叶反变换之后的结果也是一个高斯滤波器，也就是在空域中。Butterworth低通滤波器结构与效果和高斯低通滤波器相似，那么，当我们对Butterworth反变换与图像在空域中进行卷积，也将会类似在空域中进行高斯滤波后的效果，即对图片进行平滑操作，图像会变得模糊。参考一下空域卷积和到频域的转换式子：
$f(x, y) * g(x, y) \longleftrightarrow F(x, y) \cdot G(x, y)$
即，空域的卷积相当于频域率的逐点相乘的结果，反过来也就是说，在频域中进行Butterworth滤波，相当于对Butterworth滤波器反变换到空域中和图像做卷积。