一、简介
我们知道，在一幅图像中，其低频成分对应者图像变化缓慢的部分，对应着图像大致的相貌和轮廓。而其高频成分则对应着图像变化剧烈的部分，对应着图像的细节（图像的噪声也属于高频成分）。
低频滤波器，顾名思义，就是过滤掉或者大幅度衰减图像的高频成分，让图像的低频成分通过。低频滤波器可以平滑图像，虑去图像的噪声。而与此相反的高频滤波器，则是过滤低频成分，通过高频成分，可以达到锐化图像的目的。
理想低通滤波器的滤波非常尖锐，而高斯低通滤波器的滤波则非常平滑。Butterworth低通滤波器则介于两者之间，当Butterworth低通滤波器的阶数较高时，接近于理想低通滤波器，阶数较低时，则接近于高斯低通滤波器。
下面我们所说的都是对应于二维图像处理的情况。
二、这三种滤波器的相关介绍
在这三种低通滤波器的表达式中，我们都用D0来表示其截止频率。D(u, v)表示距离频率矩形中心的距离。
我并没有说明振铃现象产生的原因，只是说明了什么情况下振铃现象较为明显。
1. 理想低通滤波器（ILPF）
理想低通滤波器在以原点为圆心、D0为半径的园内，通过所有的频率，而在圆外截断所有的频率。（圆心的频率最低，为变换的直流(dc)分量）。函数如下：
可以看出，理想低通滤波器的过渡非常急剧，会产生振铃现象。
2. Butterworth低通滤波器
函数表达式如下（在有些书中，Butterworth的函数的平方才等于右边的表达式，在这里我们按照课本的写法，计算较为方便），其中n称为Butterworth低通滤波器的阶数：
从滤波器的函数图中，我们可以看出其过渡没有理想低通滤波器那么剧烈，从图(c)中可以看出，阶数越高，滤波器的过度越剧烈，振铃现象将越明显。
3. 高斯低通滤波器(GLPF)
函数表达式如下：
高斯滤波器的过度特性非常平坦，因此不会产生振铃现象。
三、频域滤波步骤
1. 基本步骤
1. 给定一幅大小为m*n的图像f(x,y)。选择适当的填充参数P和Q，一般令P = 2m，Q = 2n。
2. 对图像f(x, y)填充0，填充后得到图像大小为P*Q的图像fp(x, y)。
3. 用(-1)^(x+y)乘以fp(x,y)将其移到变换中心（中心化）。
4. 计算fp(x, y)的DFT，得到F(u,v)。
5. 生成一个实的，对称的滤波函数H(u, v)，大小为P*Q，中心在(P/2, Q/2)处。然后相乘（矩阵点乘）得到G(u,v) = H(u,v)F(u,v)。
6. 对G(u, v)反傅里叶变换，然后取实部，再乘以(-1)^(x+y)进行反中心变换最后得到gp(x,y)。
7. 提取gp(x,y)左上角的m*n区域，对提取的部分进行标准化处理，得到最终的结果图像g(x,y)。
2. 相关步骤说明
1. 对图像进行0填充，得到大小为P*Q的图像，主要是为了避免在循环卷积中出现的缠绕错误。当两个矩阵大小相同时，P≥2m-1，Q≥2n-1时可以避免环绕错误。由于对于偶数尺寸的矩阵计算其傅里叶变换较快，因此P取2m，Q取2n。
2. 图像乘以(-1)^(x+y)，再对图像进行傅里叶变换可以得到将原点移到中心的傅里叶变换。这样，对于F(u,v)来说，中心的频率最低，四周的频率较高。每一点的值表示该频率对于的幅度。在matlab中，也可以不乘以(-1)^(x+y)，直接对填充后的图像进行傅里叶变换，之后使用fftshift函数对其傅里叶变换进行中心化。得到的结果是一样的。
3. 由于图像是一个实函数，所以其傅里叶变换是一个旋转对称的傅里叶变换。
4. 关于对称中心。课本中指出，对于一个长度为M的一维序列，当M为偶数时，位置0和M/2呈现零的特性，当M为奇数时，只有位置0呈现零的特性。因此，在matlab中，由于矩阵下标是从1开始的，我们的P = 2m，Q = 2n。因此中心点的位置为(P/2+1, Q/2+1)，即(m+1, n+1)。
5. 标准化处理。对最终得到的图像每一点的值进行处理。使其范围变为[0, 255]的uint8。或者[0, 1.0]的double值。
四、matlab代码实现Butterworth低通滤波器
在使用matlab代码的实现过程中，对于这三种低通滤波器，只是在实验低通滤波器函数H(u,v)的代码中有部分不同，其他部分一致。因此，在下面中，只给出实现Butterworth低通滤波器的代码，不给出其他两种滤波器的代码。
1. Butterworth滤波器的代码如下：
该函数为Bfilter，输入为需要进行Butterworth滤波的灰度图像，Butterworth滤波器的截止频率D0以及Butterworth滤波器的阶数n。输出为进行滤波之后的图像（图像的值已经归一化到[[0, 255]）。
function [image_out] = Bfilter(image_in, D0, N)
% Butterworth滤波器，在频率域进行滤波
% 输入为需要进行滤波的灰度图像，Butterworth滤波器的截止频率D0，阶数N
% 输出为滤波之后的灰度图像
[m, n] = size(image_in);
P = 2 * m;
Q = 2 * n;
fp = zeros(P, Q);
%对图像填充0,并且乘以(-1)^(x+y) 以移到变换中心
for i = 1 : m
for j = 1 : n
fp(i, j) = double(image_in(i, j)) * (-1)^(i+j);
end
end
% 对填充后的图像进行傅里叶变换
F1 = fft2(fp);
% 生成Butterworth滤波函数，中心在(m+1,n+1)
Bw = zeros(P, Q);
a = D0^(2 * N);
for u = 1 : P
for v = 1 : Q
temp = (u-(m+1.0))^2 + (v-(n+1.0))^2;
Bw(u, v) = 1 / (1 + (temp^N) / a);
end
end
%进行滤波
G = F1 .* Bw;
% 反傅里叶变换
gp = ifft2(G);
% 处理得到的图像
image_out = zeros(m, n, 'uint8');
gp = real(gp);
g = zeros(m, n);
for i = 1 : m
for j = 1 : n
g(i, j) = gp(i, j) * (-1)^(i+j);
end
end
mmax = max(g(:));
mmin = min(g(:));
range = mmax-mmin;
for i = 1 : m
for j = 1 : n
image_out(i,j) = uint8(255 * (g(i, j)-mmin) / range);
end
end
end2. 测试代码如下
测试时Butterworth滤波器的阶数为2。截止频率分别为10,30,60,160,460。
clear all;
close all;
clc;
image1 = imread('3.bmp');
image2 = Bfilter(image1, 10, 2);
image3 = Bfilter(image1, 30, 2);
image4 = Bfilter(image1, 60, 2);
image5 = Bfilter(image1, 160, 2);
image6 = Bfilter(image1, 460, 2);
% 显示图像
subplot(2,3,1), imshow(image1), title('原图像');
subplot(2,3,2), imshow(image2), title('D0 = 10, n = 2');
subplot(2,3,3), imshow(image3), title('D0 = 30, n = 2');
subplot(2,3,4), imshow(image4), title('D0 = 60, n = 2');
subplot(2,3,5), imshow(image5), title('D0 = 160, n = 2');
subplot(2,3,6), imshow(image6), title('D0 = 460, n = 2');