简介：对于RC组成的低通滤波器，推导出它对应的逆系统电路。并使用OPAMP在面包板上搭建测试了逆系统电路的功能。

关键词： RC低通，逆系统

§01 RC滤波逆系统

1.1 问题背景

这个问题实际上是信号与系统分析课程中第一章关于可逆系统定义的问题。在 第一次作业1.6.2 作为选择题第二题的判断题。

问题询问：如下RC低通滤波电路系统是否属于可逆系统？

▲ 图1 RC低通滤波器

▲ 图1 RC低通滤波器

本来应该是与下面的RC高通滤波器作为对比请学生进行判断。

▲ 图1.2 RC高通滤波器

▲ 图1.2 RC高通滤波器

1.1.1 可逆系统

在信号与系统课程中，对于可逆系统的定义是要求系统不存在两个不同的信号，它们对应系统的输出是相同的。这个定义对于静态系统相对比较同一判断，对于动态系统来讲稍微困难一些。

对于满足线性时不变特性的系统，由于输入输出之间可以通过变换域内定义的系统函数，往往是一个有理分式，来描述，因此对于判断其逆系统是否存在以及如何构造相对比较容易。下面给出了上面两个系统的逆系统对应的电路进行设计。。

1.1.2 系统的输入输出

在信号与系统课程中所定义的系统具有特殊的含义，也就是系统的输出由输入信号决定。反过来，系统的输出无法影响到系统的输入。

对于普通的有电阻、电容、电感等组成的电路系统，实际上在电路的输入输出之间存在双向影响的传递函数。为了将两个电路系统相连，保持各个系统输入输出之间的关系不受影响，需要在电路之间增加理想的运放完成信号跟随，可以保持输入输出之间的关系。

比如下面电路中，输入的RC低通滤波器通过中间的运放信号跟随驱动后面的CR高通滤波器。系统的输入输出关系可以将两个滤波器的传递函数直接相乘。

${U_2 \left( s \right)} \over {U_1 \left( s \right)}} = { {R_1 C_1 s} \over {\left( {1 + R_1 C_1 s} \right)^2 }}$
▲ 图2 RC互换对应的传递函数

▲ 图2 RC互换对应的传递函数

如果将两个电路直接连接在一起，之间不通过理想运放进行信号的跟随隔离，那么输入输出之间的传递函数为：

${U_2 \left( s \right)} \over {U_1 \left( s \right)}} = { {C_1 R_1 s} \over {\left( {C_1 R_1 s} \right)^2 + 3C_1 R_1 s + 1}}$

▲ 图1.1.4 直接将两个电路连接在一起

▲ 图1.1.4 直接将两个电路连接在一起

from headm import *
from sympy                  import symbols,simplify,expand,print_latex

R1,C1,s = symbols('R1,C1,s')

def p(s1,s2):
    return s1*s2/(s1+s2)

def Xc(c):
    return 1/(c*s)

X1 = Xc(C1)

X2 = p(X1, X1+R1)
H1 = X2/(R1+X2)
H2 = R1/(X1+R1)

result = H1*H2

result = simplify(result)

print_latex(result)
_=tspexecutepythoncmd("msg2latex")
clipboard.copy(str(result))

对比前面两个传递函数，可以看到经过电压跟随的网络传递函数与直接将两个RC回路相连对应的网络传递函数是不相同的。

因此，在后面的逆系统设计过程中，都增加有信号跟随。

1.2 滤波器的逆系统

下面分别讨论RC低通滤波器，CR高通滤波器的逆系统对应的电路。

1.2.1 RC低通滤波器逆系统

对于RC低通滤波器，它的输入输出的传递函数为： ${U_2 \left( s \right)} \over {U_1 \left( s \right)}} = {1 \over {C_1 R_1 s + 1}}$ 对应的逆系统的传递函数应该是 $H_{INV} \left( s \right) = { {U_1 \left( s \right)} \over {U_2 \left( s \right)}} = 1 + R_1 C_1 s$

在下面电路中，利用 $C_1，R_1$ 与运放构成了电路，对应的传递函数为:

▲ 图3 RC低通滤波器的逆系统

▲ 图3 RC低通滤波器的逆系统

因此，输入输出之间传递函数为 1.

1.2.2 CR高通滤波器逆系统

对于CR高通滤波器，对应的输入输出传递函数为： ${U_2 \left( s \right)} \over {U_1 \left( s \right)}} = { {C_1 R_1 s} \over {C_1 R_1 s + 1}}$ 对应的逆系统电路的传递函数为 $H_{INV} \left( s \right) = 1 + {1 \over {C_1 R_1 s}}$

下面电路给出了逆系统电路设计。

▲ 图1.5 RC高通滤波器逆系统

▲ 图1.5 RC高通滤波器逆系统

§02 电路测试

2.1 电路搭建

在面包板上搭建测试电路。输入输出信号采用DG1062可编程信号源 产生。

运算放大器采用 LM358 以及 LM4562 。

LM358:GBW：1MHz
LM4562:GBW：55MHz

2.2 APPLE脚本

背景介绍	IMAGE1	M1	IMAGE2	M2	IMAGE3	M3
这原本是在信号与系统分析课程中的一个判断题，确定有电阻电容组成的低通，或者高通滤波器，是否属于可逆系统？通常分析下，由于高通滤波器，在电路输出中无法输出直流分量，所以是不可逆系统。对于低通滤波器，则属于可逆系统。
既然低通滤波器是可逆的，那么它的逆系统对应的电路是什么呢？如果仅仅是将电容电阻对调，所形成的的电路还不是原来低通滤波其的逆系统。比如这里将RC，CR电路串联起来，中间利用电压跟随器隔离两个电路。所形成的电路传递函数还不是1。因此它们两个不是互为逆系统。这里给出了RC低通滤波器的逆系统电路。可以看到后面由运放以及周围的电阻、电容组成的电路传递函数，恰好是前面RC低通滤波器的倒数，所以他们组成了RC低通滤波器的逆系统。不过这里请大家注意，输入输出之间是-1，而不是1。所以他们距离真正可逆系统还相差一个负号。		<
下面我们在面包板上搭建测试电路，测试一下上面RC低通滤波器的逆系统电路，是否符合要求。		<

电路搭建	IMAGE1	M1	IMAGE2	M2	IMAGE3	M3
这是我们在面包板上搭建的电路。
首先，我们测试一个RC低通滤波的信号波形。示波器探头1直接测试输入信号，示波器探头2测试低通滤波输出信号。输入信号为正弦波，输出信号也是正弦波。可以看到随着频率的不同，输出信号的相位和幅度都在变化。这是输入方波和三角波形，可以看到输出输出信号出现较大的失真变形。
下面我们测试RC低通滤波器的逆系统电路的输出。这是在输入为正弦波情况下电路的输出，可以看到它的相位与输入项相反的。这是与电路设计结果是相符的。可以看到在不同频率下，输出波形的幅值和相位并没有变化。		*
这是输入为三角波的时候，逆电路输出波形。可以看到它与输入之间除了相位相反之外，没有其他的失真。这是输入为方波信号的情况下，测量电路的输出。此时输出信号在阶跃处出现了高频振荡波形。放大这个波形，可以看到它的细节。这是由于LM358运放本身的在高频下的幅频特性所决定的。
由于所使用的LM358在高频下，它的放大特性发生了改变，所以对于矩形波这样具有突变的信号，该电路具有了明显的失真。为了改善这种情况，可以使用高春娜性能更好的运放来实现RC低通滤波器的逆系统。比如在这里对比的是LM4562运算放大器与LM358输出波形对比。
LM4562的单位增益带宽积为55MHz。比LM358高了55倍。因此在输出波形细节上， LM4562有所改进。

实验总结	IMAGE1	M1	IMAGE2	M2	IMAGE3	M3
利用面包板测试了RC低通滤波器逆系统。在输入连续信号时，逆系统电路的输出很好的与输入信号相一致。但是当输入信号存在突变时，输出信号在突变后面会出现高频震荡信号。