2019.4.7 提高B组 T1 nssl-1304 最大正方形

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$Descrption$

给定一个 $n\times n$的01矩阵，要求求出其中最大的全部由1构成的正方形的面积。

数据范围：
$n\leq 10^3$

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$Solution$

设 $f[i][j]$表示以 $(i,j)$为右下角的正方形的边长

我们可以通过边长从1到2的情况类比大的情况

显然，当边长为1转移到边长为2时，需要满足上方，左方，左上方三个角都必须是正方形，而我们如何获知这个信息呢，由方程的定义即可得到，得到一个比较简陋的方程

$f[i][j]=f[i-1][j]+1 |a[i-1][j]==1\ and\ a[i-1][j-1]==1\ and\ a[i][j-1]==1\ and\ a[i][j]==1$

这就是1转移到2的方程了

但是，其实后面的判断条件可以省略掉，我们取最小值即可

$f[i][j]=min\{f[i-1][j],f[i][j-1],f[i-1][j-1]\}+1|a[i][j]==1$

可以发现，这条方程代入到 $边长>2$的情况也是成立的

对此我们可以有两种理解方法

第一种，我们可以把正方形的边长当作同时压缩，这样其的形状恰好可以构成 $边长=2$的情况

第二种，我们可以用类似与二维前缀和的理解方法，一个大的正方形，可以看成上方小的正方形，左边小的正方形加上自己组成

问题到这里已经得到解决，时间复杂度 $O(n^2)$

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$Code$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define r(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;char a[1001][1001];int f[1001][1001],n,ans;
int main()
{
    scanf("%d\n",&n);
    r(i,1,n) {r(j,1,n) a[i][j]=getchar();getchar();}
    r(i,1,n)
     r(j,1,n)
      if(a[i][j]=='1')
       f[i][j]=min(min(f[i-1][j],f[i][j-1]),f[i-1][j-1])+1;
    r(i,1,n) r(j,1,n) ans=max(ans,f[i][j]*f[i][j]);
    printf("%d",ans);
}