CF1174E Expected GCD Problem 数论，DP

https://codeforces.com/contest/1174/problem/E

题意：定义gi是排列p1,p2...pi的的GCD（长度为i的前缀GCD）,f(p)是 g1,g2..gn中独特的元素个数

让fmax(n) 成为f(p)在所有整数1,2...n的排列中的最大值，给出整数n，给出满足f(p)=fmax(n)的排列个数 mod(1e9+7)

思路：对于所有满足f(p)=fmax(n)的排列，它们的首个元素s必然有最多的质因数。每次gcd改变时，只能从其中拿走一个质因数，这样我们可以保证有尽可能多的独特gcd。 而对于s有两条推论：

推论1：s=2^x*3^y，即s只能被2和3整除，因为如果s有其他的质因数p（p>4），我们可以s/p*4，这样可以得到更多质因数。

推论2：y<=1, 因为如果s=2^x*3^y，y>=2，我们可以让s=s/9*8，变为2^(x+3)*3^(y-2)，由此得到更多质因数

建立dp[i][x][y], 表示到下标i为止，满足要求的排列个数，并且gcd为2^x*3^y. 定义一个函数f(x,y)表示2^x*3^y的倍数个数，且这些倍数<=n

对于p(i+1)有3个方程：

加上2^x*3^y的倍数，gcd不改变，可以加f(x,y)个数，但是已经加了i个

dp[i+1][x][y]=dp[i+1][x][y]+dp[i][x][y]∗(f(x,y)−i)

x减少1，加上是2^(x-1)*3^y的倍数同时不是2^x*3^y的倍数

dp[i+1][x−1][y]=dp[i+1][x−1][y]+dp[i][x][y]∗(f(x−1,y)−f(x,y))

y减少1，加上是2^x*3^(y-1)的倍数同时不是2^x*3^y的倍数

dp[i+1][x][y−1]=dp[i+1][x][y−1]+dp[i][x][y]∗(f(x,y−1)−f(x,y))

总是可以以2^x开始，所以dp[1][x][0]=1;

同时如果2^(x-1)*3<=n,也可以以此开始，所以dp[1][x-1][1]=1

ans=dp[n][0][0]

#include <iostream>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int n,dp[1000005][21][2];
int f(int x,int y)
{
    int tmp=(1<<x);
    if (y)
    tmp*=3; return n/tmp; } int main() { scanf("%d",&n); int p=0; while ((1<<p)<=n) p++; p--; dp[1][p][0]=1; if ((1<<(p-1))*3<=n) dp[1][p-1][1]=1; for (int i=1;i<n;i++) { for (int x=0;x<=p;x++) { for (int y=0;y<=1;y++) { dp[i+1][x][y]=(dp[i+1][x][y]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x,y)-i))%mod; if (x) dp[i+1][x-1][y]=(dp[i+1][x-1][y]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x-1,y)-f(x,y)))%mod; if (y) dp[i+1][x][y-1]=(dp[i+1][x][y-1]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x,y-1)-f(x,y)))%mod; } } } printf("%d",dp[n][0][0]); }