前言：
首先，在学树链剖分之前最好先把 LCA、树形DP、DFS序 这三个知识点学了
emm还有必备的 链式前向星、线段树 也要先学了。
如果这三个知识点没掌握好的话，树链剖分难以理解也是当然的。
一、简介
树链剖分 就是对一棵树分成几条链，把树形变为线性，减少处理难度
需要处理的问题：
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- 将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
- 求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
- 将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
- 求以x为根节点的子树内所有节点值之和
概念
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- 重儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 以那个儿子为根的子树节点数最大的儿子 为该节点的重儿子 (Ps: 感谢@shzr大佬指出我此句话的表达不严谨qwq, 已修改)
- 轻儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 非重儿子 的剩下所有儿子即为轻儿子
- 叶子节点没有重儿子也没有轻儿子（因为它没有儿子。。）
- 重边：一个父亲连接他的重儿子的边称为重边 //原写法：连接任意两个重儿子的边叫做重边
- 轻边：剩下的即为轻边
- 重链：相邻重边连起来的 连接一条重儿子 的链叫重链
- 对于叶子节点，若其为轻儿子，则有一条以自己为起点的长度为1的链
- 每一条重链以轻儿子为起点
性质
如果边(u,v)为轻边，那么，size（u）>=size(v)*2
根到某一节点经过的路径中轻边的数量一定不多于log（n）
根到某一节点经过的路径中重链的数量一定不多于log（n）
二、算法流程
dfs1()
这个dfs1要处理几件事情：
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- 标记每个点的深度deep[]
- 标记每个点的父亲fa[]
- 标记每个非叶子节点的子树大小(含它自己)
- 标记每个非叶子节点的重儿子编号w_son[]
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inline void Dfs1(int u,int father,int fdeep) { deep[u]=fdeep,fa[u]=father,root_size[u]=1;//标记节点的父亲，深度，当前以u为树根的树中的节点个数 int pw_son=-1;//先设重儿子的root_size为-1 for(int i=head[u];i;i=edge[i].next) { if(edge[i].to==father) continue;//无向图"返祖边"不需要 Dfs1(edge[i].to,u,fdeep+1);//搜索儿子节点 if(root_size[edge[i].to]>pw_son) w_son[u]=edge[i].to; root_size[u]+=root_size[edge[i].to];//更新重儿子 } }
dfs2()
这个dfs2也要预处理几件事情
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- 标记每个点的新编号id
- 赋值每个点的初始值到新编号上
- 处理每个点所在链的顶端
- 处理每条链
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inline void Dfs2(int u,int ftop) { top[u]=ftop;//将u加入链头为ftop的链中 id[u]=++cnt;//记录每一个节点的时间戳 w[cnt]=a[u];//按照时间戳加入权值 if(!son[u]) return;//没有儿子，直接返回 Dfs2(son[u],ftop);//先深搜重儿子，这样就会保证重儿子的序列尽可能的小 for(int i=haed[u];i;i=edge[i].next) if(edge[i].to!=u&&edge[i].to!=son[u]) Dfs2(edge[i].to,edge[i].to)//生成一条以edge[i].to为链头的新链 }
效果图如下图所示(有点小lazy)
对于下面例题中的模板的处理的问题
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- 处理任意两点间路径上的点权和
- 处理一点及其子树的点权和
- 修改任意两点间路径上的点权
- 修改一点及其子树的点权
修改任意两点间路径上的点权
设所在链顶端的深度更深的那个点为x点
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- ans加上x点到x所在链顶端 这一段区间的点权和
- 把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点
不停执行这两个步骤，直到两个点处于一条链上，这时再加上此时两个点的区间和即可
