最长上升（不下降）子序列(LIS) 不同求解方法（动规、贪心）

给定一个序列，求出它的最长上升子序列或者是最长不下降子序列的长度或者输出这个子序列

一、动态规划 O(n^2)

1.求长度

首先来讨论最长上升子序列的情况，即子序列是严格上升的

假如我们以dp[i]表示以a[i]为结尾的上升子序列的长度那么对于 j (1<=j<i),如果a[j]<a[i]，很显然:

   dp[i] = max(dp[i], dp[j]+ 
  1); 
 

 
  当然先要赋初值，dp[i]=1，因为一开始只有它自己组成这个序列 
 

最后每次计算出dp[i]之后都要对答案进行更新

至于最长不下降子序列，只需要把a[j]<a[i]改为a[j]<=a[i]即可

代码：

#include <bits/stdc++.h>  

using namespace std; 

int anss=0,i,n,j,a[10005],dp[10005];

int main()
{
    cin>>n;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        dp[i]=1;
        for(j=0;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i])   //如果是最长不下降子序列就改为     if(a[j]<=a[i])
            {
                dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
            }
        }
        if(dp[i]>anss)
        anss=dp[i];
    }
    cout<<anss<<endl;
}

2.求序列

只需要从dp数组向前遍历，找到dp[i]==anss的之后再找dp[i]==anss-1的....以此类推即可

#include <bits/stdc++.h>  

using namespace std; 

int anss=0,i,n,j,a[10005],dp[10005];

int main()
{
    cin>>n;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        dp[i]=1;
        for(j=0;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i])
            {
                dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
            }
        }
        if(dp[i]>anss)
        anss=dp[i];
    }
    cout<<anss<<endl;
}

不过通常最长上升子序列的解是不唯一的，长度是唯一的。

二、贪心 O(nlogn)

对于一个上升子序列，显然其结尾元素越小，越有利于在后面接其他的元素，也就越可能变得更长。

因此，我们只需要维护 dp 数组(虽然已经不是动态规划了），对于每一个a [ i ]，如果a [ i ]能接到 LIS 后面，就接上去；否则，就用 a [ i ] 取更新 dp数组：在dp数组中找到第一个大于等于a [ i ]的元素dp[ j ]，用a [ i ]去更新dp [ j ]。怎么找到第一个大于等于的元素呢？只需要使用lower_bound()函数即可。
至于最长不下降子序列，只需要将 “在dp数组中找到第一个大于等于a [ i ]的元素dp[ j ]” 这一步改为找到第一个大于的元素即可。同样的将lower_bound换成upper_bound()

1.代码

#include <bits/stdc++.h>  

using namespace std; 

int anss=0,i,n,j,a[10005],dp[10005],temp;

int main()
{
    cin>>n;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        dp[i]=0x7ffffff;
    }
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        temp=lower_bound(dp,dp+n,a[i])-dp;
        if(temp+1>anss)
        {
            anss++;
        }
        dp[temp]=a[i];
    }
    cout<<anss<<endl;
}

2.求序列

只需要另外开一个数组b，记录dp[i]的位置，然后从b数组向前遍历，找到b[i]==anss的之后再找b[i]==anss-1的....以此类推

#include <bits/stdc++.h>  

using namespace std; 

int anss=0,i,n,j,a[10005],dp[10005],temp,b[10005],c[10005];

int main()
{
    cin>>n;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        dp[i]=0x7ffffff;
    }
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        temp=lower_bound(dp,dp+n,a[i])-dp;
        if(temp+1>anss)
        {
            anss++;
        }
        dp[temp]=a[i];
        b[i]=temp;
    }
    cout<<anss<<endl;
    temp=anss-1;
    for(i=n-1;i>=0;i--)
    {
        if(b[i]==temp)
        {
            c[temp]=a[i];
            temp--;
        }
    }
    for(i=0;i<anss;i++)
    {
        cout<<c[i]<<' ';
    }
}