1. 随机变量

$随机变量X是一个函数机器，它可以将随机试验的每一个结果e都变成一个单实数X(e)：$
将试验结果数值化。
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2. 分布律、概率密度与分布函数

名称	对象	定义	性质
分布律	离散型随机变量	$P\{X=x_k\}=p_k,\\(k=1,2,...)$	$\begin{aligned}&1.p_k\ge0,(k=1,2,...);\\&2.\sum_{k=1}^\infty p_k=1.\end{aligned}$
分布函数	是随机变量就行	$F(x)=P\{X\le x\},\\(-\infty<x<+\infty)$	$\begin{aligned}&1.F(x)是不减函数;\\&2.0\le F(x)\le1;\\&3.F(x)右连续。\end{aligned}$
概率密度	连续型随机变量	$分布函数F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt, 其中f(x)\ge0,称f(x)为概率密度。$	$\begin{aligned}&1.f(x)\ge0;\\&2.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1;\\&3.P\{a<x\le b\}=\int_a^bf(x)dx;\\&4.若f(x)连续，则F'(x)=f(x).\end{aligned}$

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对于离散随机变量
$P\{a<X\le b\}=F(b)-F(a) \tag{1}$
$P\{X>a\}=1-F(a) \tag{2}$
对于连续随机变量
$单点概率为0：P\{X=a\}=0 \tag{3}$
$P\{a<X\le b\}=P\{a\le X \le b\}=P\{a<X<b\}=F(b)-F(a) \tag{4}$
$P\{X>a\}=1-F(a) \tag{5}$

名称	符号	分布律	说明
$0-1分布$	$B(1,p)$	$\begin{aligned}&P\{X=1\}=p,\\&P\{X=0\}=1-p,\\&(0<p<1)\end{aligned}$	只有两个可能结果0和1，比如抛硬币，产品是否合格等。
$二项分布$	$\begin{aligned}&B(n,p)\\&n表示实验次数\\&p表示每次发生的概率\\&n次中发生的次数\end{aligned}$	$\begin{aligned}&P\{X=k\}=C_n^kp^kq^{n-k},\\&(0<p<1,q=1-p,k=0,1,2,...)\end{aligned}$	n重伯努利试验中A发生的次数服从二项分布，表示一系列试验中A发生的次数，比如抛n次硬币正面出现的次数。
$泊松分布$	$P(\lambda)$	$P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},\\(\lambda>0,k=0,1,2,...)$	表示一段时间间隔或一定范围内A发生的次数服从泊松分布，比如加油站一小时内来的汽车数量，一天内一个路段发生交通事故的次数等。

设X服从二项分布B(n,p), 当n较大, p较小时, X近似服从泊松分布P(np), 即
$P\{X=k\}=C_n^kp^kq^{n-k}\approx\frac{(np)^ke^{-np}}{k!},$
这个定理在二项分布计算中，当遇到n很大，p很小，不好计算时，可以用泊松分布近似计算。

分布名称	表示符号	概率密度函数
均匀分布	U(a,b)	$f(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{b-a}, &a<x<b\\ &0, &其他\end{aligned}\right.$
正态分布	$N(\mu, \sigma^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\\(-\infty<x<+\infty)$
标准正态分布	$N(0,1)$	$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{x^2}{2}}\\(-\infty<x<+\infty)$
指数分布	$e(\lambda)$	$f(x)=\left\{\begin{aligned} &\lambda e^{-\lambda x}, &x>0\\ &0, &x\le0\end{aligned}\right.$

注：
设随机变量 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ ，则：

$其概率密度曲线关于直线x=\mu对称，当x<\mu时单调上升，当x>\mu时单调下降，当x=\mu处取得最大值；在x=\mu\pm\sigma处有拐点；并且以y=0为水平渐近线；$
$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$ ，也就是对于一个本身服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的随机变量 $X$ ，如果对每个取值都减掉 $\mu$ 再除以 $\sigma$ ，则变化后的随机变量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$ 。其概率密度 $f(-x)=f(x)$ ，分布函数 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ 。并且：
$\begin{aligned} &P\{x_1\le X\le x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=\Phi(\frac{x_2-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{x_1-\mu}{\sigma});\\ &F(x)=P\{X\le x\}=P\{\frac{X-\mu}{\sigma}\le \frac{x-\mu}{\sigma}\}=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma});\\ &P\{X>x\}=P\{\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{x-\mu}{\sigma}\}=1-\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma}) \end{aligned}$

指数分布的概率分布函数： $F(x)=1-e^{-\lambda x}$