[图形学基础]关于齐次坐标的理解

之前一直没搞明白坐标变换中的齐次坐标代表着什么含义，最近看懂了，来记录一下

1、问题是什么？

以二维变换举例，现在有个列矩阵X（2*1），旋转变换W1（2*2），缩放矩阵W2（2*2），平移矩阵W3（2*1）；
我们整个变换过程可以是

$$X_1=W_1W_2X+W_3$$
先缩放，在旋转，最后平移，然后得到了新的矩阵X1也就是新的坐标位置，W1和W2可以先进行计算合并成一个W矩阵，所以式子变成
$$X_1=WX+W_3$$
问题在什么地方？

• 我们想免去一些计算，例如将W1和W2合并成一个矩阵就节省了一次计算
• 我们想能不能通过一个变换矩阵就涵盖了所有变化操作呢？就是用一个W表示缩放、旋转、平移？
• 我们想能不能矩阵相乘的形式来表示平移变化？

2、如何解决？

当在二维空间的时候，我们没法将W3也就是平移矩阵合入W矩阵，但是如果将2*2矩阵扩充位3*3矩阵的话，我们就能将缩放、旋转、平移矩阵操作合成一个单一的矩阵，此时第三列代表平移的信息。
因此扩充矩阵，是为了可以合并操作矩阵，二维坐标用三维列矩阵表示，二维操作用3*3矩阵表示。