数学物理方法

Fourier 变换

Fourier 变换(Fourier Transform)
δ 函数(δ Function)
Fourier 变换的应用(Application of Fourier Transform)

Laplace 变换

Laplace 变换(Laplace Transform)
Laplace 逆变换(Inverse Laplace Transform)
Laplace 变换的应用

积分变换附录

复变函数和积分变换(Complex Function & Integral Transform I)
复变函数和积分变换(Complex Function & Integral Transform II)
复变函数和积分变换(Complex Function & Integral Transform III)

参考文献：
mooc国防科技大学《复变函数》
王忠仁、张静《工程数学：复变函数和积分变换》
焦红伟、尹景本《复变函数与积分变换》
梁昆淼《数学物理方法》

Fourier 变换

所谓积分变换，就是把某函数类 A 中的函数 $f(t)$ 乘上一个确定的二元函数 $k(t, p)$ ，然后计算积分 $\displaystyle F(p)=\int k(t, p)f(t)dt$ ，这样变成另一个函数类 B 中的函数 $F(p)$ 。这里二元函数 $k(t, p)$ 是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核函数(kernel function)， $f(t)$ 称为象原函数(original image function)， $F(p)$ 称为 $f(t)$ 的象函数(image function)。如果取积分核 $k(ω,t)=e^{-iωt}$ ，就是著名的Fourier 变换。

Fourier 变换(Fourier Transform)

周期函数的Fourier 级数：设 $f_T(t)$ 是以T为周期的实值函数，在区间 $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ 上满足狄利克雷(Dirichlet)条件：
(1)连续或只有有限个第一类间断点；
(2)只有有限个极值点
则 $f_T(t)$ 在连续点处可以展开成Fourier 级数： $\displaystyle f_T(t)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{∞}(a_n\cos nω_0 t+b_n\sin nω_0 t) \tag{F0}$ 在间断点处，上式左端为 $\frac{1}{2}[f_T(t^-)+f_T(t^+)]$
其中 $\displaystyle ω_0=2\pi/T \\ a_n=\frac 2T \int_{-T/2}^{T/2}f_T(t)\cos nω_0 t\text{d}t \quad(n=0,1,2,\cdots) \\ b_n=\frac 2T \int_{-T/2}^{T/2}f_T(t)\sin nω_0 t\text{d}t \quad(n=1,2,3,\cdots)$
式 (F0) 称为Fourier 级数的三角形式。
Fourier 级数的指数形式：利用欧拉公式 $\cosθ=\dfrac{e^{iθ}+e^{-iθ}}{2},\sinθ=\dfrac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{2i}$ 将Fourier 级数转化为复指数形式， $\displaystyle f_T(t)=c_0+\sum_{n=1}^{∞}(c_ne^{inω_0 t}+c_{-n}e^{-inω_0 t})=\sum_{n=-∞}^{∞}c_ne^{inω_0 t} \tag{F1}$ 其中 $\displaystyle c_n=\dfrac1T\int^{T/2}_{-T/2}f_T(t)e^{-inω_0 t}\text{d}t\quad(n=0,\pm1,\pm2,\cdots)\tag{F2}$ 由 $c_n$ 与 $a_n,b_n$ 的关系可知
$\begin{cases} c_n=c_{-n}=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}=\frac{1}{2}A_n \\ \arg c_n=-\arg c_{-n}=θ_n \\ |c_0|=A_0 \end{cases}$
Fourier 级数的物理含义：
针对Fourier 级数的三角形式 (F0) ，取 $A_0=a_0/2$ ，令 $A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\cosθ_n=a_n/A_n,\sinθ_n=-b_n/A_n$ ，则(F0)化为
$\begin{aligned} \displaystyle f_T(t)&=A_0+\sum_{n=1}^{∞}A_n(\cosθ_n\cos nω_0 t+\sinθ_n\sin nω_0 t) \\ &=A_0+\sum_{n=1}^{∞}A_n\cos(nω_0 t+θ_n) \end{aligned}$

(1) 上式表明，周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和，这些简谐波的(角) 频率(frequency) 为一个基频(fundamental frequency) $ω_0$ 的倍数。
振幅(amplitude) $A_n$ 反映了在信号 $f_T(t)$ 中频率为 $nω_0$ 的简谐波所占有的份额；
相位(phase) $nω_0 t+θ_n$ 反映了在信号 $f_T(t)$ 中频率为 $nω_0$ 的简谐波沿时间轴移动的大小，初相位(Initial Phase) 为 $θ_n$ 。
$A_0$ 表示周期信号在一个周期内的平均值，也叫直流分量(DC component)， $|A_0|$ 称为直流分量的振幅。
(2) 对于Fourier 级数的复指数形式，我们不难看出 $c_n$ 作为复数，其模和辐角恰好反应了第 n次谐波的振幅和初相位， $c_n$ 是离散频率 $nω_0$ 的函数，描述了各次谐波的振幅和初相位随离散频率变化的分布情况。称 $c_n$ 为 $f_T(t)$ 的离散频谱(spectrum)， $|c_n|$ 为离散振幅谱(amplitude spectrum)， $\arg c_n$ 为离散相位谱(phase spectrum)。
非周期函数的Fourier 变换
上面研究的是周期函数，事实上对于一个非周期函数 $f(t)$ 可以看成是一个周期为 T的函数 $f_T(t)$ 当 $T\to +∞$ 时转化而来。
由Fourier 级数式(F1)和式(F2)有 $\displaystyle f(t)=\lim\limits_{T\to +∞}\sum_{n=-∞}^{∞}[\dfrac1T\int^{T/2}_{-T/2}f_T(τ)e^{-inω_0 τ}\text{d}τ]e^{inω_0 t}$
记 $ω_n=nω_0$ ，间隔 $ω_0=Δω$ ，当n 取一切整数时， $ω_n$ 所对应的点便均匀地分布在整个数轴上，并由 $T=\dfrac{2\pi}{ω_0}=\dfrac{2\pi}{Δω}$ 得
$\displaystyle f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\lim\limits_{Δω\to0}\sum_{n=-∞}^{∞}[\int^{π/Δω}_{-π/Δω}f_T(τ)e^{-iω_n τ}\text{d}τ]e^{iω_n t}Δω$
这是一个和式得极限，按照积分的定义，在一定条件下，上式可写成 $\displaystyle f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}[\int^{+∞}_{-∞}f(τ)e^{-iω τ}\text{d}τ]e^{iω t}\text{d}ω \tag{F3}$ 这个公式称为函数 $f(t)$ 的Fourier 积分公式。应该指出，上式只是由式(F1)的右端从形式上推出来的，是不严格的.。至于一个非周期函数 $f(t)$ 在什么条件下，可以用Fourier 积分公式表示，有下面的定理。
Fourier 积分定理：若 $f(t)$ 在 $\R$ 上满足：
(1) 在任一有限区间上满足狄利克雷(Dirichlet)条件；
(2) 在无限区间 $(-∞,+∞)$ 上绝对可积 ( 即 $\int_{-∞}^{+∞}|f (t)| dt$ 收敛)
则有(F3)式成立
在间断点处，(F3)式左端为 $\frac{1}{2}[f(t^-)+f(t^+)]$
Fourier 变换：如果函数 $f(t)$ 满足Fourier 积分定理，由式(F3)，令 $\displaystyle F(ω)=\int^{+∞}_{-∞}f(τ)e^{-iω τ}\text{d}τ \tag{F4}$ 则有 $\displaystyle f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}F(ω)e^{iω t}\text{d}ω \tag{F5}$ 从上面两式可以看出， $f(t)$ 和 $F(ω)$ 通过确定的积分运算可以互相转换。
(1) (F4)式称为 $f(t)$ Fourier 变换(Fourier transform)，记为 $F(ω)=\mathcal{F}[f(t)]$ ；
(2) (F5)式称为 $F(ω)$ Fourier 逆变换(inverse Fourier transform)，记为 $f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(ω)]$ ；
(3) $F(ω)$ 称为 $f(t)$ 的象函数(image function)， $f(t)$ 称为 $F(ω)$ 的象原函数(original image function)。通常称 $f(t)$ 与 $F(ω)$ 构成一个Fourier 变换对(transform pair)，记作 $f(t)\lrarr F(ω)$
Fourier 变换的物理意义
Fourier 积分公式表明非周期函数的频谱是连续取值的。
像函数 $F(ω)$ 反映的是函数 $f(t)$ 中各频率分量的分布密度，它为复值函数，故可表示为 $F(ω)=|F(ω)|e^{i\arg F(ω)}$
称 $F(ω)$ 为 $f(t)$ 的频谱(spectrum)， $|F(ω)|$ 为振幅谱(amplitude spectrum)， $\arg F(ω)$ 为相位谱(phase spectrum)。
不难证明当 $f(t)$ 为实函数时， $|F(ω)|$ 为偶函数， $\arg F(ω)$ 为奇函数。

Fourier 变换的性质

线性性质： $\mathcal{F}[αf_1(t)+βf_2(t)]=α\mathcal{F}[f_1(t)]+β\mathcal{F}[f_2(t)]$
平移性质：设 $F(ω)=\mathcal{F}[f(t)]$ ，则
$\mathcal{F}[f(t-t_0)]=e^{-iω t_0}F(ω)$
$\mathcal{F}^{-1}[F(ω-ω_0)]=e^{iω_0 t}f(t)$
伸缩性质(相似性质)：设 $F(ω)=\mathcal{F}[f(t)],a\neq 0$ ，则
$\mathcal{F}[f(at)]=\dfrac{1}{|a|}F(\dfrac{ω}{a})$
微分性质：若 $\lim\limits_{|t|\to +\infty}f^{(k)}(t)=0(k=0,1,2,\cdots,n-1)$ ，则
$\mathcal{F}[f^{(n)}(t)]=(iω)^n\mathcal{F}[f(t)]$
积分性质：设 $\displaystyle g(t)=\int_{-∞}^{t}f(t)dt$ ，若 $\lim\limits_{t\to +\infty}g(t)=0$ 则
$\mathcal{F}[g(t)]=\dfrac{1}{iω}\mathcal{F}[f(t)]$
帕赛瓦尔(Parseval)等式：设 $f_1(t),f_2(t)$ 均为平方可积函数，即 $\displaystyle \int_{-∞}^{+∞}|f_k(t)|^2dt<+\infty(k=1,2)$
设 $F_1(ω)=\mathcal{F}[f_1(t)],F_2(ω)=\mathcal{F}[f_2(t)]$ ，则
$\displaystyle \int_{-∞}^{+∞}f_1(t)\overline{f_2(t)}dt=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}F_1(ω)\overline{F_2(ω)}dω$
特别的当 $f_1(t)=f_2(t)=f(t),F(ω)=\mathcal{F}[f(t)]$ 时
$\displaystyle \int_{-∞}^{+∞}|f(t)|^2dt=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}|F(ω)|^2dω$
平方可积函数在物理上就是能量有限的信号，上式也叫能量积分(energy integral)， $|F(ω)|^2$ 也叫能量谱密度(energy spectrum density)。
卷积定理¹：设 $F_1(ω)=\mathcal{F}[f_1(t)],F_2(ω)=\mathcal{F}[f_2(t)]$ ，则有
$\mathcal F[f_1*f_2]=F_1(ω)\cdot F_2(ω) \\ \mathcal F^{-1}[F_1(ω)\cdot F_2(ω)]=f_1*f_2$
我们还可以得到 $\mathcal F[f_1\cdot f_2]=F_1(ω)*F_2(ω)$

δ 函数(δ Function)

在数学、物理学以及实际工程技术中，一些常用的函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位阶跃函数等等，都不能进行Fourier 变换。
在物理学中，常有集中于一点或一瞬时的量，如脉冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量。
只有引入一个特殊函数来表示它们的分布密度，才有可能把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。

单位脉冲函数(Unit Impulse Function)
<引例>：假设在原来电流为零的电路中，在 t=0 时瞬时进入一电量为 $q_0$ 的脉冲。现在确定电流强度分布 $i(t)$ ，分析可知 $i(t)=\begin{cases} 0&(t\neq 0) \\ ∞&(t=0) \end{cases}$
同时需要引入积分值表示电量大小 $\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}i(t)dt=q_0$
为此我们引入单位脉冲函数，又称为Dirac函数或者δ函数。
定义：单位脉冲函数 $δ(t)$ 满足
(1) 当 $t\neq 0$ 时， $δ(t)=0$
(2) $\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}δ(t)dt=1$
由此，引例可表示为 $i(t)=q_0δ(t)$

注意：
(1) 单位脉冲函数 $δ(t)$ 并不是经典意义下的函数，因此通常称其为广义函数(或者奇异函数)。
(2) 它不能用常规意义下的值的对应关系来理解和使用，而总是通过它的性质来使用它。
(3) 单位脉冲函数 $δ(t)$ 有多种定义方式，前面所给出的定义方式是由Dirac(狄拉克)给出的。

单位脉冲函数其他定义方式
构造一个在 ε时间内激发的矩形脉冲 $δ_ε(t)$ ，定义为
$δ_ε(t)=\begin{cases} 0&(t< 0) \\ 1/ε&(0⩽t⩽ε) \\ 0&(t>ε) \end{cases}$
对于任何一个在 $\R=(-∞,+∞)$ 上无穷次可微的函数 $f(t)$ 如果满足 $\displaystyle\lim\limits_{ε\to 0}\int_{-∞}^{+∞}δ_ε(t)f(t)dt=\int_{-∞}^{+∞}δ(t)f(t)dt$ ，则称 $δ_ε(t)$ 的若极限为 $δ(t)$ ，记为 $\lim\limits_{ε\to 0}δ_ε(t)=δ(t)$
δ函数的性质
筛选性质(sifting property)：设函数 $f(t)$ 是定义在 $\R$ 上的有界函数，且在 $t = 0$ 处连续，则有
$\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}δ(t)f(t)dt=\lim\limits_{ε\to 0}f(θε)=f(0)$
更一般的 $\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}δ(t-t_0)f(t)dt=f(t_0)$
证明：取 $f(t)\equiv1$ ，则有 $\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}δ(t)dt=\lim\limits_{ε\to 0}\int_{0}^{ε}\frac{1}{ε}dt=1$
事实上 $\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}δ(t)f(t)dt=\lim\limits_{ε\to 0}\int_{-∞}^{+∞}δ_ε(t)f(t)dt=\lim\limits_{ε\to 0}\frac{1}{ε}\int_{0}^{ε}f(t)dt$
由微分中值定理有 $\displaystyle\frac{1}{ε}\int_{0}^{ε}f(t)dt=f(θε)\quad(0<θ<1)$
从而 $\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}δ(t)f(t)dt=\lim\limits_{ε\to 0}f(θε)=f(0)$
δ函数的另外几条基本性质：（这些性质的严格证明可参阅广义函数）
(1) $δ(t)=δ(-t)$
(2) $tδ(t)\equiv 0$
(3) $f(t)δ(t-t_0)=f(t_0)δ(t-t_0),f(t)$ 为任意无穷可微函数
(4) $δ(at)=\frac{1}{|a|}δ(t)\quad(a\neq 0)$
(5) 设 $u(t)$ 为单位阶跃函数(unit step function)，即
$\displaystyle u(t)=\int_{-∞}^{t}δ(ξ)dξ= \begin{cases} 1,&t> 0 \\ 0,&t<0 \end{cases}$ 则 $\dfrac{du(t)}{dt}=δ(t)$
(6) $f(t)*δ(t)=f(t)$
一般的 $f(t)*δ(t-t_0)=f(t-t_0)$
δ函数的Fourier 变换：
(1) 根据δ函数筛选性质可得
$\displaystyle F(ω)=\mathcal{F}[δ(t)]=\int^{+∞}_{-∞}δ(t)e^{-iω t}\text{d}t=e^{-iω t}|_{t=0}=1$
$\displaystyleδ(t)=\mathcal{F}^{-1}[1]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}e^{iω t}\text{d}ω$
由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。
可以得到：
$δ(t) )\lrarr 1 \\ δ(t-t_0)\lrarr e^{-iω t_0} \\ 1 \lrarr 2\pi δ(ω) \\ e^{-iω_0 t} \lrarr 2\pi δ (ω − ω_0 )$
(2) 有许多重要的函数不满足Fourier 积分定理条件（绝对可积），例如常数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数和余弦函数等，但它们的广义Fourier 变换也是存在的，利用单位脉冲函数及其Fourier 变换可以求出它们的Fourier 变换。

在δ函数的Fourier变换中，其广义积分是根据δ函数的性质直接给出的，而不是按通常的积分方式得到的，称这种方式的Fourier 变换为广义Fourier 变换。

周期函数的Fourier 变换
定理：设 $f(t)$ 以T 为周期，在 $[0,T]$ 上满足 Dirichlet 条件，则 $f(t)$ 的Fourier 变换为： $\displaystyle F(ω)=2\pi\sum_{n=-∞}^{+∞}F(nω_0)δ (ω − nω_0)$ 其中 $ω_0=2\pi/T,F(nω_0)$ 是 $f(t)$ 的离散频谱。

Fourier 变换的应用(Application of Fourier Transform)

求矩形脉冲函数(rectangular pulse function) $f(t)=\begin{cases}1&|t|<a \\ 0 &|t|>a \end{cases}$ 的Fourier 变换及其Fourier 积分表达式。

(1) Fourier 变换为
$\begin{aligned} \displaystyle F(ω) &=\int^{+∞}_{-∞}f(t)e^{-iω t}\text{d}t=\int^{a}_{-a}e^{-iω t}\text{d}t \\ &=\int^{a}_{-a}\cos(ωt)\text{d}t-\text{i}\int^{a}_{-a}\sin(ωt)\text{d}t \\ &=2\int^{a}_{0}\cos(ωt)\text{d}t \\ &=\frac{2\sin(aω)}{ω} =2a\frac{\sin(aω)}{aω} \end{aligned}$
(2) 振幅谱 $\displaystyle |F(ω)| =2a\left|\frac{\sin(aω)}{aω}\right|$
相位谱 $\arg F(ω)=\begin{cases} 0 & \frac{2n\pi}{a}⩽|ω|⩽ \frac{2n\pi}{a} \\ \pi &\text{others} \end{cases}$

(3) Fourier 积分表达式为
$\begin{aligned} \displaystyle f(t) &=\mathcal{F}^{-1}[F(ω)] \\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}F(ω)e^{iω t}\text{d}ω=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}\frac{2\sin(aω)}{ω}e^{iω t}\text{d}ω \\ &=\dfrac{1}{\pi}\int_{-∞}^{+∞}\frac{\sin(aω)}{ω}\cosωt\text{d}ω \\ &=\begin{cases} 1 & |t|<a \\ \frac{1}{2} & |t|=a \\ 0 & |t|>a \\ \end{cases} \end{aligned}$
在上式中令 $t = 0$ ，可得重要公式：
$\displaystyle\boxed{\int_{-∞}^{+∞}\frac{\sin(ax)}{x}\text{d}x= \begin{cases} -\pi &a<0 \\ 0 &a=0 \\ \pi &a>0 \end{cases}}$
特别的 $\displaystyle\int_{0}^{+∞}\frac{\sin x}{x}\text{d}x=\frac{\pi}{2}$
求指数衰减函数(exponential decay function) $f(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ e^{-a t} &t⩾0 \end{cases}(a>0)$ 的Fourier 变换及Fourier 积分表达式。
(1) Fourier 变换为
$\begin{aligned} \displaystyle F(ω) &=\int^{+∞}_{-∞}f(t)e^{-iω t}\text{d}t=\int^{+∞}_{0}e^{-a t}e^{-iω t}\text{d}t \\ &=\frac{1}{-(a+iω)}e^{-(a+iω)t}\Big|^{t\to+∞}_{t=0} \\ &=\frac{1}{a+iω}=\frac{a-iω}{a^2+ω^2} \end{aligned}$
(2) 振幅谱 $\displaystyle |F(ω)| =\frac{1}{\sqrt{a^2+ω^2}}$
相位谱 $\arg F(ω)=-\arctan\dfrac{ω}{a}$

频谱图
(3) Fourier 积分表达式为
$\begin{aligned} \displaystyle f(t) &=\mathcal{F}^{-1}[F(ω)] \\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}F(ω)e^{iω t}\text{d}ω=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}\frac{β-iω}{β^2+ω^2}e^{iω t}\text{d}ω \\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}\frac{1}{β^2+ω^2}(β-iω)(\cosωt+i\sinωt)\text{d}ω \end{aligned}$
利用奇偶函数的积分性质，可得
$\displaystyle f(t)=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{+∞}\frac{β\cosωt+ω\sinωt}{β^2+ω^2}\text{d}ω$
由此顺便得到一个含参变量广义积分的结果
$\displaystyle \boxed{\int_{0}^{+∞}\frac{β\cosωt+ω\sinωt}{β^2+ω^2}\text{d}ω= \begin{cases} 0 &t<0\\ \dfrac{\pi}{2} &t=0 \\ \pi e^{-βt} &t>0 \end{cases}}$

求单位阶跃函数(unit step function) $u(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 &t>0 \end{cases}$ 的Fourier 变换及其积分表达式。

(1) 现将 $u(t)$ 看作是指数衰减函数 $f(t;β)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ e^{-β t} &t>0 \end{cases}$ 在 $β\to0^+$ 时的极限，即 $u(t)=\lim\limits_{β\to0^+}f(t;β)$
$\begin{aligned} \displaystyle F(ω) & =\lim\limits_{β\to0^+}\mathcal{F}[f(t;β)]\\ &=\lim\limits_{β\to0^+}\frac{1}{β+iω} =\lim\limits_{β\to0^+}(\frac{β}{β^2+ω^2}-i\frac{ω}{β^2+ω^2})\\ &=\pi δ(ω)+\frac{1}{iω} \end{aligned}$
又因 $\displaystyle\lim\limits_{β\to0^+}\int_{-∞}^{+∞}\frac{β}{β^2+ω^2}dω=\lim\limits_{β\to0^+}[\arctan \frac{ω}{β}]\Big|^{-∞}_{+∞}=\pi$
所以 $\lim\limits_{β\to0^+}\dfrac{β}{β^2+ω^2}=πδ(ω)$
$\mathcal{F}[u(t)]=\pi δ(ω)+\dfrac{1}{iω}$
(2) Fourier 积分表达式
$\begin{aligned} \displaystyle u(t) &=\mathcal{F}^{-1}[F(ω)] \\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}F(ω)e^{iω t}\text{d}ω=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}[\pi δ(ω)+\dfrac{1}{iω}]e^{iω t}\text{d}ω \\ &=\dfrac{1}{2}\int_{-∞}^{+∞}δ(ω)e^{iω t}\text{d}ω+\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}\dfrac{1}{iω}e^{iω t}\text{d}ω \\ &=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{+∞}\dfrac{\sinω t}{ω}\text{d}ω \end{aligned}$
在上式中令 t=1，可得狄利克雷积分 $\displaystyle\int_{0}^{+∞}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}$
求余弦函数 $f (t) = \cosω_0t$ 的Fourier 积分
由欧拉公式 $\cosω_0t=\frac{1}{2}(e^{iω_0t}+e^{-iω_0t})$ 有
$\begin{aligned} \displaystyle \mathcal{F}[\cosω_0t] &=\int^{+∞}_{-∞}\cosω_0te^{-iω t}\text{d}t\\ &=\int^{+∞}_{0}\frac{1}{2}(e^{iω_0t}+e^{-iω_0t})e^{-iω t}\text{d}t \\ &=\frac{1}{2}[\int^{+∞}_{0}e^{-i(ω-ω_0)t}\text{d}t+\int^{+∞}_{0}e^{-i(ω+ω_0)t}\text{d}t] \\ &=\pi [δ(ω-ω_0)+δ(ω+ω_0)] \end{aligned}$
同理可证 $\mathcal{F}[\sinω_0t]=i\pi [δ(ω+ω_0)-δ(ω-ω_0)]$

Laplace 变换

Laplace 变换(Laplace Transform)

Fourier 变换的局限性
当函数满足Dirichlet条件，且在 $(-∞,+∞)$ 上绝对可积时，则可以进行古典Fourier 变换。
引入广义函数和广义Fourier 变换是扩大Fourier 变换使用范围的一种方法，却要求有一系列更深刻的数学理论支持。对于以指数级增长的函数，如 $e^{at} (a > 0)$ 等，广义Fourier 变换仍无能为力。
如何对Fourier 变换进行改造？
(1) 由于单位阶跃函数 $u(t)\equiv 0(t<0)$ ，因此 $f(t)u(t)$ 可使积分区间从 $(−∞,+∞)$ 变成 $[0,+∞)$ ；
(2) 另外，函数 $e^{-βt} (β > 0)$ 具有衰减性质，对于许多非绝对可积的函数 $f(t)$ ，总可选择适当大的 β，使 $f(t)u(t)e^{-βt}$ 满足绝对可积的条件。
通过上述处理，就有希望使得函数 $f(t)u(t)e^{-βt}$ 满足Fourier 变换的条件，从而可以进行Fourier 变换。
$\displaystyle \mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-βt}] =\int^{+∞}_{-∞}f(t)u(t)e^{-βt}e^{-iω t}\text{d}t=\int^{+∞}_{0}f(t)e^{-(β+iω) t}\text{d}t$
令 $s=β+iω$ 可得 $\displaystyle\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-βt}]=\int^{+∞}_{0}f(t)e^{-s t}\text{d}t$

用幂级数推导出 “Laplace 变换”

Laplace变换
Laplace变换：设函数 $f(t)$ 在 $t\geqslant 0$ 时有定义，且积分 $\displaystyle\int_{0}^{+∞}f(t)e^{-st}dt$ 在复数 s 的某一个区域内收敛，则此积分所确定的函数 $\displaystyle F(s)=\int^{+\infty}_{0}f(t)e^{-st}\text{d}t$ 称为函数 $f(t)$ 的Laplace 变换，记为 $F(s)=\mathcal L[f(t)]$ ，函数 $F(s)$ 也可称为 $f(t)$ 的象函数。 $f(t)=\mathcal L^{-1}[F(s)]$ 称为Laplace 逆变换。
在Laplace 变换中，只要求 $f(t)$ 在 $[0,+∞)$ 内有定义即可。为了研究方便，以后总假定在 $(−∞,0)$ 内， $f(t)≡0$
Laplace变换存在定理：设函数 $f(t)$ 满足
(1) 在 $t⩾0$ 的任何有限区间分段连续；
(2) 当 $t\to +∞$ 时， $f(t)$ 的增长速度不超过某指数函数，即 $\exists M>0,C⩾0$ ，使得 $|f(t)|⩽Me^{Ct}(t⩾0)$ 成立。
则 $f(t)$ 的Laplace 变换 $F(s)$ 在半平面 $\text{Re }(s)>C$ 上一定存在，且是解析的。
周期函数的Laplace变换：设 $f(t)$ 是 $[0, +\infty)$ 内以T 为周期的函数，且逐段光滑，则 $\displaystyle\mathcal L[f(t)]=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int^{T}_{0}f(t)e^{-st}\text{d}t$

Laplace变换的性质

线性性质：设 $F_1(s)=\mathcal L[f_1(t)],F_2(s)=\mathcal L[f_2(t)]$
$\mathcal L[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha F_1(s)+\beta F_2(s)$
$\mathcal L^{-1}[\alpha F_1(s)+\beta F_2(s)]=\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)$
位移性质： $\mathcal L [e^{s_0t}f(t)]=F(s-s_0)$
微分性质：设 $F(s)=\mathcal L[f(t)]$
$\mathcal L[f'(t)]=sF(s)-f(0)$
$\displaystyle \mathcal L[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-\sum_{k=1}^{n} s^{n-k}f^{(k-1)}(0)$
$F'(s)=-\mathcal L[tf(t)]$
$F^{(n)}(s)=(-1)^n\mathcal L[t^nf(t)]$
积分性质：设 $F(s)=\mathcal L[f(t)]$
$\displaystyle\mathcal L[\int^t_0f(t)dt]=\frac 1sF(s)$
$\displaystyle\mathcal L[\underbrace{\int^t_0dt\int^t_0dt\cdots\int^t_0}_{\text{n times}}f(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s)$
$\displaystyle\mathcal L[\frac{f(t)}{t}]=\int^{\infty}_sF(s)ds$
$\displaystyle\mathcal L[\frac{f(t)}{t^n}]= \mathcal L[\underbrace{\int^∞_sdt\int^∞_sdt\cdots\int^∞_s}_{\text{n times}}F(s)ds]$
延迟性质： $\text{if } t>0,f(t)=0, \text{then }\forall t_0>0$
$\mathcal L[f(t-t_0)]=e^{-st_0}F(s)$
$\mathcal L^{-1}[e^{-st_0}F(s)]=f(t-t_0)u(t-t_0)$
卷积定理¹：设 $F_1(s)=\mathcal{L}[f_1(t)],F_2(s)=\mathcal{L}[f_2(t)]$ ，则有
$\mathcal L[f_1*f_2]=F_1(s)\cdot F_2(s) \\ \mathcal L^{-1}[F_1(s)\cdot F_2(s)]=f_1*f_2$

Laplace 逆变换(Inverse Laplace Transform)

反演积分公式(inverse integral formula)：由于 $f(t)$ 的Laplace 变换 $F(s)=F(β+iω)$ 就是 $f(t)u(t)e^{-βt}$ 的Fourier 变换，即
$\displaystyle\mathcal L[f(t)]=\mathcal F[f(t)u(t)e^{-βt}]=\int_{−∞}^{+∞} f(t)u(t)e^{-βt}e^{-iωt}dt$
因此，在 $f(t)(t>0)$ 的连续点处有
$\displaystyle f(t)u(t)e^{-βt}=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}F(β+iω)e^{iω t}\text{d}ω$
等式两边同乘 $e^{βt}$ ，并令 $s=β+iω$ 则有
$\displaystyle f(t)u(t)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{β-iω}^{β+iω}F(s)e^{st}\text{d}s$
因此 $\displaystyle f(t)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{β-iω}^{β+iω}F(s)e^{st}\text{d}s \quad(t>0)$
利用留数计算反演积分
定理设 $F(s)$ 在复平面内只有有限个孤立奇点 $s_1,s_2,\cdots,s_n$ ，实数 β使这些奇点全在半平面 $\text{Re}(s)<β$ 内，且 $\lim\limits_{s\to∞}F(s)=0$ ，则有 $\displaystyle f(t)=\sum_{k=1}^n\text{Res}[F(s)e^{st},s_k]\quad(t>0)$
证明：作半圆将所有奇点包围，设 $C=C_R+L$ ，由于 $e^{st}$ 在全平面解析，所以 $F(s)e^{st}$ 的奇点就是 $F(s)$ 的奇点，由留数定理可得
$\displaystyle 2\pi i\sum_{k=1}^n\text{Res}[F(s)e^{st},s_k]=\oint_{C}F(s)e^{st}ds=\int_{β-iR}^{β+iR}F(s)e^{st}ds+\int_{C_R}F(s)e^{st}ds$
由若尔当引理，当 t>0 时，有 $\displaystyle\lim\limits_{R\to+\infty}\int_{C_R}F(s)e^{st}ds=0$
再根据反演积分公式可得定理公式。
实际中经常遇到有理函数类 $F(s)=\dfrac{A(s)}{B(s)}$ ，其中 $A(s),B(s)$ 是不可约的多项式，当分子 $A(s)$ 的次数小于分母 $B(s)$ 的次数时，满足定理对 $F(s)$ 的要求，可用留数计算Laplace 逆变换。

Laplace 变换的应用

常用函数的Laplace变换

求指数函数 $f(t) = e^{at} ( a⩾0)$ 的Laplace 变换
$\displaystyle \mathcal L[e^{at}]=\int^{+\infty}_{0}e^{at}e^{-st}\text{d}t=\int^{+\infty}_{0}e^{-(s-a)t}\text{d}t$
当 $\text{Re }s>a$ 时，设 $s=β+iω$ ，此时
$\lim\limits_{t\to+\infty}e^{-(s-a)t}=\lim\limits_{t\to+\infty}e^{-(β-a)t}e^{-iω}=0 (β>0)$
所以有 $\displaystyle \mathcal L[e^{at}]=\frac{1}{s-a}\quad(\text{Re }s>a)$
求函数 $f(t) = 1$ 的Laplace 变换
$\displaystyle \mathcal L[1]=\int^{+\infty}_{0}e^{-st}\text{d}t=\frac{1}{s}\quad(\text{Re }s>0)$
单位阶跃函数 $u(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 &t>0 \end{cases}$ 的Laplace 变换
$\displaystyle \mathcal L[u(t)]=\frac{1}{s}\quad(\text{Re }s>0)$
正弦函数 $\displaystyle \mathcal L[ \sinωt]=\frac{ω}{s^2+ω^2}\quad(\text{Re }s>0)$
余弦函数 $\displaystyle \mathcal L[ \cosωt]=\frac{s}{s^2+ω^2}\quad(\text{Re }s>0)$
幂函数 $f(t)=t^m(m\in\Z^+)$ 的Laplace 变换
$\displaystyle\begin{aligned} \mathcal L[t^m] &=\int^{+\infty}_{0}t^me^{-st}\text{d}t=-\frac{1}{s}\int^{+\infty}_{0}t^m\text{d}e^{-st} \\ & =-\frac{1}{s}t^me^{-st}\Big|_{0}^{+\infty}+\frac{m}{s}\int^{+\infty}_{0}t^{m-1}e^{-st}\text{d}t \\ &=\frac{m}{s}\mathcal L[t^{m-1}]\quad(\text{Re }s>0) \end{aligned}$
又由 $\displaystyle\mathcal L[1]=1/s$ ，故递推可得
$\displaystyle\mathcal L[t^m]=\frac{m!}{s^{m+1}}\quad(\text{Re }s>0)$
求 δ 函数的Laplace 变换。
狄利克雷函数 $δ_τ(t)=\begin{cases} \frac{1}{τ} &0⩽ t<τ \\ 0 &\text{others} \end{cases}$ 的Laplace 变换为
$\displaystyle \mathcal L[δ_τ(t)]=\int^{τ}_{0}\frac{1}{τ}e^{-st}\text{d}t=\frac{1}{τs}(1-e^{-τs})$
$\displaystyle \mathcal L[δ(t)]=\lim\limits_{τ\to0}\mathcal L[δ_τ(t)]=\lim\limits_{τ\to0}\frac{1}{τs}(1-e^{-τs})$
用洛必达法则计算此极限 $\displaystyle\lim\limits_{τ\to0}\frac{1}{τs}(1-e^{-τs})=\lim\limits_{τ\to0}\frac{se^{-τs}}{s}=1$
所以 $\mathcal L[δ(t)]=1$

微分方程的Laplace变换解法：主要借助于Laplace变换的微分性质
$\displaystyle \mathcal L[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-\sum_{k=1}^{n} s^{n-k}f^{(k-1)}(0)$
(1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)；
(2) 求解代数方程得到象函数；
(3) 求Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。

求解微分方程 $y''+ω^2y=0$ 满足初始条件 $y(0)=0,y'(0)=ω$
(1) 令 $Y(s)=\mathcal L[y(t)]$ ，对方程两边取Laplace 变换
$s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+ω^2Y(s)=0$ ，带入初始条件可得
$s^2Y(s)-ω+ω^2Y(s)=0$
(2) 求解此方程，得 $Y(s)=\dfrac{ω}{s^2+ω^2}$
(3) 求Laplace 逆变换，得 $y=\mathcal L^{-1}[Y(s)]=\sin ωt$
求解微分方程初值问题 $\begin{cases} ax'(t)+bx(t)=f(t),&t>0 \\ x(0)=c \\ \end{cases}$
令 $X(s)=\mathcal L[x(t)],F(s)=\mathcal L[f(t)]$ ，对方程两边取Laplace 变换，带入初始条件可得
$a(sX(s)-c)+bX(s)=F(s)$
解得 $X(s)=\cfrac{F(s)+ac}{as+b}=c\cfrac{1}{s+b/a}+\cfrac{1}{a}\cfrac{1}{s+b/a}F(s)$
由于 $\mathcal L^{-1}[\cfrac{1}{s+b/a}]=e^{-\frac{b}{a}t}$ ，故上式Laplace 逆变换为
$\displaystyle x(t)=ce^{-\frac{b}{a}t}+\frac{1}{a}\int_{0}^{t}f(τ)e^{-\frac{b}{a}(t-τ)}\text{d}τ$
求微分方程组： $\begin{cases} x'+y+z'=1\\ x+y'+z=0\\ y+4z'=0 \end{cases}$ 满足初始条件 $x(0)=0,y(0)=0,z(0)=0$
令 $\mathcal L[x(t)]=X(s),\mathcal L[y(t)]=Y(s),\mathcal L[z(t)]=Z(s)$
对方程组两边取Laplace 变换，并带入初始条件可得
$\begin{cases} sX(s)+Y(s)+sZ(s)=\dfrac 1s\\ X(s)+sY(s)+Z(s)=0\\ Y(s)+4sZ(s)=0 \end{cases}$
解代数方程组得：
$\begin{cases} X(s)=\dfrac{4s^2-1}{4s^2(s^2-1)} \\ Y(s)=\dfrac {-1}{s(s^2-1)} \\ Z(s)=\dfrac {1}{4s^2(s^2-1)} \\ \end{cases}$
对每一像函数取Laplace 逆变换可得：
$\begin{cases} x(t)=\mathcal L^{-1}[X(s)]=\dfrac 14\mathcal L^{-1}[\dfrac {3}{s^2-1}+\dfrac{1}{s^2}]=\dfrac 14(3\sinh t+t) \\ y(t)=\mathcal L^{-1}[Y(s)]=\mathcal L^{-1}[\dfrac 1s-\dfrac {s}{s^2-1}]=1-\cosh t \\ z(t)=\mathcal L^{-1}[Z(s)]=\dfrac 14\mathcal L^{-1}[\dfrac {1}{s^2-1}-\dfrac {1}{s^2}]=\dfrac 14(\sinh t-t) \end{cases}$
求解积分方程： $\displaystyle f(t)=at-\int_{0}^{t}\sin(x-t)f(x)dt\quad(a\neq0)$
原方程化为 $\displaystyle f(t)=at+f(t)*\sin t$
令 $F(s)=\mathcal L[f(t)]$ ，对方程两边取Laplace 变换
$F(s)=\dfrac{a}{s^2}+\dfrac{1}{s^2+1}F(s)$
解得 $F(s)=a(\dfrac{a}{s^2}+\dfrac{a}{s^4})$
求Laplace 逆变换 $f(t)=a(t+\dfrac{t^3}{6})$

物理学问题

设质量为m 的物体静止在原点，在 t = 0 时受到 x 方向的冲击力 $F_0δ(t)$ 的作用，求物体的运动方程。
设物体的运动方程为 $x = x(t)$ ，根据Newton 定律
$mx''(t)=F_0δ(t),x(0)=x'(0)=0$
令 $X(s)=\mathcal L[x(t)]$ ，对方程两边取Laplace 变换，并带入初始条件得
$ms^2X(s)=F_0\implies X(s)=\frac{F_0}{ms^2}$
求Laplace 逆变换即得物体的运动方程为： $x(t)=\frac{F_0}{m}t$
质量为m的物体挂在弹簧系数为k 的弹簧一端(如图)，作用在物体上的外力为 $f(t)$ 。若物体自静止平衡位置 x = 0 处开始运动，求该物体的运动规律 $x(t)$ 。

(1) 根据 Newton 定律及 Hooke 定律，物体的运动规律 $x(t)$ 满足如下的微分方程：
$mx''(t)+kx(t)=f(t);\quad x(0)=x'(0)$
(2) 令 $X(s)=\mathcal L[x(t)],F(s)=\mathcal L[f(t)]$ ，对方程两边取Laplace 变换，带入初始条件可得
$ms^2X(s)+kX(s)=F(s)$
令 $ω_0^2=k/m$ ，有 $X(s)=\dfrac{1}{mω_0}\cdot\dfrac{ω_0}{s^2+ω_0^2}\cdot F(s)$
(3) 利用卷积定理，求Laplace 逆变换得：
$x(t)=\mathcal L^{-1}[X(s)]=\dfrac{1}{mω_0}[\sinω_0t*f(t)]$
当 $f(t)$ 具体给出时，即可以求得运动规律 $x(t)$
设物体在 t = 0时受到的外力为 $f(t ) = Aδ(t)$
此时，物体的运动规律为：
$x(t)=\dfrac{1}{mω_0}[\sinω_0t*f(t)]=\dfrac{A}{mω_0}\sinω_0t$

积分变换附录

$f(t)$	Fourier Transform	Laplace Transform
Conditions	若 $f(t)$ 在 $\R$ 上满足： (1) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件； (2) 在无限区间 $(-∞,+∞)$ 上绝对可积，即 $\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}\mid f(t)\mid \text{d}t$ 收敛 Dirichlet 条件： (1)连续或只有有限个第一类间断点； (2)只有有限个极值点	若 $f(t)$ 满足 (1) 在 $t⩾0$ 的任何有限区间分段连续； (2) 当 $t\to +∞$ 时， $f(t)$ 的增长速度不超过某指数函数，即 $\exists M>0,C⩾0$ ，使得 $\mid f(t)\mid ⩽Me^{Ct}(t⩾0)$ 成立。则 $f(t)$ 的Laplace 变换 $F(s)$ 在半平面 $\text{Re }(s)>C$ 上一定存在，且是解析的。
Kernel Function	$e^{-\text{i}ωt}$	$e^{-st}$
Interval	$(-∞,+∞)$	$(0,+∞)$
Symbols	$F(ω)=\mathcal{F}[f(t)]$ $f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(ω)]$	$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]$ $f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]$
Transform (image)	$\displaystyle F(ω)=\int^{+∞}_{-∞}f(τ)e^{-\text{i}ωt}\text{d}t$	$\displaystyle F(s)=\int^{+\infty}_{0}f(t)e^{-st}\text{d}t$
Inverse Transform (original image)	$\displaystyle f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}F(ω)e^{\text{i}ω t}\text{d}ω$	$\displaystyle f(t)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{β-iω}^{β+iω}F(s)e^{st}\text{d}s \quad(t>0)$ $\displaystyle f(t)=\sum_{k=1}^n\text{Res}[F(s)e^{st},s_k]\quad(t>0)$

Functions (original image)	Fourier Transform (image)	Laplace Transform
$δ(t)$	1	1
$δ(t−t_0)$	$e^{-\text{i}ω t_0}$
1	$2\pi δ(ω)$	$\dfrac{1}{s}\quad(\text{Re }s>0)$
$e^{-\text{i}ω_0 t}$	$2\pi δ(ω−ω_0)$
$t$		$\dfrac{1}{s^2}\quad(\text{Re }s>0)$
$e^{-at}\quad(a⩾0)$	$\dfrac{1}{a+\text{i}ω}$	$\dfrac{1}{s+a}\quad(\text{Re }s+a>0)$
$te^{-at}\quad(a⩾0)$		$\dfrac{1}{(s+a)^2}\quad(\text{Re }s+a>0)$
$u(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 &t>0 \end{cases}$	$\pi δ(ω)+\dfrac{1}{\text{i}ω}$	$\dfrac{1}{s}\quad(\text{Re }s>0)$
$\text{sgn}(t)=\begin{cases}-1&t<0 \\ 1 &t >0 \end{cases}$	$\dfrac{2}{\text{i}ω}$
$\text{rect}(t)=\begin{cases}1&\mid t\mid <a \\ 0 &\mid t\mid >a \end{cases}$	$\dfrac{2\sin(aω)}{ω}$
$\cosω_0t$	$\pi [δ(ω-ω_0)+δ(ω+ω_0)]$	$\dfrac{s}{s^2+ω_0^2}\quad(\text{Re }s>0)$
$\sinω_0t$	$\text{i}\pi [δ(ω+ω_0)-δ(ω-ω_0)]$	$\dfrac{ω_0}{s^2+ω_0^2}\quad(\text{Re }s>0)$
$t^m\quad(m\in\Z^+)$		$\dfrac{m!}{s^{m+1}}\quad(\text{Re }s>0)$

卷积(Convolution)：设函数 $f_1(t),f_2(t)$ 在 $(-\infty,\infty)$ 上绝对可积，则积分 $\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}f_1(τ)f_2(t-τ)dτ$ 称为 $f_1(t),f_2(t)$ 的卷积。记为 $\displaystyle f_1(t)*f_2(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}f_1(τ)f_2(t-τ)dτ$
如何通俗易懂地解释卷积？——知乎
根据定义，卷积满足如下性质：
(1) 交换律： $f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)$
(2) 结合律： $f_1*[f_2*f_3]=[f_1*f_2]*f_3$
(3) 分配律： $f_1*[f_2+f_3]=f_1*f_2+f_1*f_3$ ↩︎ ↩︎

WilenWu

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复变函数和积分变换(Complex Function & Integral Transform III)