【概述】

分数规划的一般形式为： $min(\lambda )/max(\lambda )=f(x)=\frac{\sum a(x)}{\sum b(x)}$

特别的，当 $min(\lambda )/max(\lambda )=f(x)=\frac{a*x}{b*x}(x\in \{0,1\}^n)$ 时，称为 01 分数规划

简单来说，就是有一些二元组 (a[i],b[i])，现在从中选择某些二元组，使得 $\frac{\sum a[i]}{\sum b[i]}$ 最大或最小

这一类题通用的解法是利用二分法来解决：

假设 x 为最优解，对应的最优函数值为 λ，那么有： $\lambda *\sum b(x)=\sum a(x)$

即： ${\sum a(x)}-x*{\sum b(x)}=0$

于是可以构造函数 $G(\lambda )=min/max(\sum a(x)-\lambda b(x))$

当 $G(\lambda )=0$ 时，此时 λ 即为最优解

也就是说，当某一个值 λ 满足上述式子的时候，就是要求的值，因此可以直接二分答案：当上述式子 >0，说明答案小了，更改左区间；当上述式子 <0，说明答案大了，更改右区间

double left=0,right=1;
while(left-right<=EPS) {
    double mid=(left+right)/2;
    double G=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        G=min(G, a[i]-mid*b[i]);
    if(judge(G))
        left=mid;
    else
        right=mid;
}

【Dinkelbach 算法】

对于 01 规划问题，除了利用基本的二分答案来解决外，还有一个常用的算法：Dinkelbach 算法

Dinkelbach 算法是一种的迭代算法，其核心思想是：对于一个值 λ ，我们找到其最优解 x，然后再用解 x 来代替 λ ，即令 λ=f(x)，然后继续迭代，直到 λ 的值不再变动，此时即得出最优解。

double init=0.5;//初始值可随意设置
while(fabs(init-res)>EPS) {
    res=left;//记录比率
    for(int i=1;i<=n;i++)//计算函数G 
        G=min/max(G,a[i]-init*b[i]);

    double p=0,q=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){//计算新比率
        p+=a[i];
        q+=b[i];
    }
    init=p/q;//更新比率
}

【常见模型】

01 规划问题，除了上述的基本模型外，还有以下三种常见的模型

1.最优比率生成树

1）问题：对于给定的带权无向图 G，对于图中的每条边 edge[i]，都有 value[i] 与 cost[i]，现在要求一棵生成树 T，使得 $\frac{\sum value[i]}{\sum cost[i]}$ 最大化或最小化，这个生成树 T，即为最优比率生成树

2）解决：如果一条边 edge[i]∈T，那么 x[i]=1，否则 x[i]=0，因此可以直接套用 01 规划分数模型

二分法：二分答案 mid，对边重赋值 weight[i]=value[i]-mid*cost[i]，由于是生成树，因此边的数量固定为 n-1 条，因此如果要最大化，只要选取前 n-1 大的 weight[i]，也即求最大生成树，如果要最小化，就求最小生成树，最后按最大生成树的权值正负性进行二分

Dinkelbach 算法：设置初始值 init，对边同样重赋值 weight[i]=value[i]-init*cost[i]，对于最大化来说，求最大生成树，找到其边集，对其边集找横截距当作下一次的答案，进行迭代

2.最优比率环

1）问题：给定一个存在环的有向图 G，每个点都有一个权值 value[i]，每条边也有一条权值 cost[i]，现在要求一个环 C，使得环的 $\frac{\sum value[i]}{\sum cost[i]}$ 最大化或最小化（在一个环中，点数与边数是相同的），这个环，即为最优比率环

2）解决：

假设答案为 x，那么对于任意一个环

当要最大化时，有： $\frac{\sum value[i]}{\sum cost[i]}\leqslant x$ ，化简得： $\sum value[i]\leqslant x*\sum cost[i]$

即： $x*\sum cost[i]-\sum value[i]\geqslant 0$

同理，当要最小化时，有： $\sum value[i]-x*\sum cost[i]\geqslant 0$

因此可以直接套用 01 规划分数模型

二分法：设当前答案为 mid，当 mid<x 时，至少存在一个环，使得 $mid*\sum cost[i]-\sum value[i]<0$ ，即存在负权回路；当 mid>=x 时，不存在负环，因此可在利用 SPFA 求负环的过程中对边进行重赋值，从而进行二分，即如果存在负环，即增大下界，若一直不可行，则无解

Dinkelbach 算法：由于使用 Dinkelbach 算法需要在不断迭代的过程中记录负环，实现较为复杂，因此一般在该模型中不采用该方法

3.最大密度子图

`1）问题：给出一个 n 个点 m 条边的无向图，现在要选择一个子图，使得这个子图中边数与点数的比例最大化，这个子图，即为最大密度子图

2）解决：

设 g 为最大比率，若要找一个最大密度子图，那么可以参考 01分数规划的基本模型来构造一个函数 h(g)=|E'|-g*|V'|，当 h(g)=0 时，g 即为最优值

关于两种解法的详细证明参见 胡伯涛的《最小割模型在信息学竞赛中的应用》：点击这里

二分+最大权闭合图：

可以发现，边与点具有依赖关系，即边存在的必要条件是点的存在，那么我们可以将边看作点，根据 g 的值来构建一个新图，即：将原图中所有代表边的点向他的两个端点连接一条有向边

那么可以直观的看出，如果选择一条边，那么这条边的两个端点必然也被选择，也就是一个闭合子图的模型

因此，在二分 g 的过程中，不断的建图来判断 g 的正负从而调整边界即可

void makeMap(double g) {
    memset(head,-1,sizeof(head));  
    tot=0;

    for(int i=1;i<=n;i++)//原图中的点到汇点 
        addedge(i,T,g); 
    for(int i=0;i<m;i++) {  
        //源点到原图中的每条边
        addedge(S,n+i+1,1.0);
        //原图中的每条边到之间建边
        addedge(n+i+1,pastEdge[i].first,INF);  
        addedge(n+i+1,pastEdge[i].second,INF);  
    }  
}

二分+最小割：

设 g 为最大比率，在建图时从源点到各点连接一条容量为 m 的单向边，从各点到汇点连接一条容量为 m+2*g-degree[i] 的单向边，其中 degree[i] 代表第 i 个点的度数，这样以后对这个图求最小割，那么 h(g)=(n*m-maxFlow)/2

因此在二分时，通过 g 值求出的最小割来判断正负，于是根据这个结果的正负就可以修改左右边界，直到达到一个最优值

void makeMap(double g) {
    memset(head,-1,sizeof(head));  
    tot=0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {//原图中的点
        addedge(S, i, m * 1.0);
        addedge(i, T, m + 2 * g - degree[i]);
    }
    for (int i = 0; i < m; i++) {//原图中的边
        addedge(pastEdge[i].first, pastEdge[i].second, 1.0);
        addedge(pastEdge[i].second, pastEdge[i].first, 1.0);
    } 
}

【例题】

Dropping tests（POJ-2976）(标准模型+二分解法)：点击这里
Dropping tests（POJ-2976）(标准模型+Dinkelbach 算法)：点击这里
Desert King（POJ-2728）(最优比率生成树+二分解法)：点击这里
Desert King（POJ-2728）(最优比率生成树+Dinkelbach 算法)：点击这里
Sightseeing Cows（POJ-3621）(最优比率环+二分解法)：点击这里
Hard Life（POJ-3155）(最大密度子图+最大权闭合图)：点击这里
Hard Life（POJ-3155）(最大密度子图+最小割)：点击这里

Alex_McAvoy

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分治 —— 01 分数规划