【通信原理 入坑之路】——深入、详细地理解通信里面“卷积”概念

一、多项式乘法和“卷积”

首先，我们来看一个多项式乘法的计算： $(x + 1)(x^2 + 2x + 5)$
一般地，我们有： $\begin{aligned} &(x + 1)(x^2 + 2x + 5)\\ &=x^3 + 2x^2 + 5x + x^2 + 2x + 5\\ &=x^3 + 3x^2 + 7x + 5 \end{aligned}$
因此，该多项式乘法结果中各项的系数就是：1 3 7 5
总结起来，上面这种方法获得各项系数需要两个步骤：各项相乘、同类项相加

然而，书中却给出了另外一种各加直观简单的办法：

从上图我们可以看出，两个多项式中，下面的多项式按照升幂排列、上面的多项式按照降幂排列。
接着，下面的这一个多项式 $5 + 2x + x^2$从左到右滑过 $x+1$，在滑动过程中， $(5 + 2x + x^2)$与 $(x+1)$重叠的地方，对应重叠的部分相乘，再相加。

用下面这个图再感受一下：

到这里，我们先对“卷积”有了一个大概的印象。下面我们推导卷积的公式：

二、“卷积”的计算公式

在上面的例子里面， $x+1$的系数是(a[1]，a[0]) = （1，1）； $5+2x+x^2$的系数是(a[0]，a[1]，a[2]） = （5，2，1）
那么计算结果： $x^3 + 3x^2 + 7x + 5$中各项系数表示为：
常数项的系数为： $c[0] = a[0]b[0]$
$x$的系数为： $c[1] = a[0]b[1] + a[1]b[0]$
$x^2$的系数： $c[2] = a[0]b[2] + a[1]b[1] + a[2]b[0]$
$x^3$的系数： $c[3] = a[0]b[3] + a[1]b[2] + a[2]b[1] + a[3]b[0]$

大家注意到了吗：若我们相乘的两个多项式a，b的最高次分别为： $n_1, n_2$，那么我们计算各项系数的式子都可以归纳为： $c[n] = \sum_{k=0}^na[j]b[n-k] （0 ≤ n ≤ n_1+n_2)$

【思考】：我们这时就会想：如果信号可以分解成类似 $x^2 + 2x + 5$这样的多项式，同时，还能够保证： $x^n = f(nω_0)$，那么两个信号相乘就可以通过卷积计算求出来

书中解释了为何要强调满足 $x^n = f(nω_0)$条件：因为我们知道，任何一个周期信号都可以表示成多个频率分量之和：基波分量( $ω_0 = 2Πf$)，二次谐波分量（ $2ω_0$)，三次谐波分量( $3ω_0$)、、、因此，我们希望信号相乘得到的结果也能够是这样的形式，即是 $nω_0$的函数
【那么，这样的条件是否能够满足呢？】

$\quad$
我们看看这样的表示： $x = f(ω_0) = e^{jω_0t} = cosω_0t + jsinω_0t$

那么， $\begin{aligned} x^2 &= (cosω_0t + jsinω_0t)^2\\ &=cos^2ω_0t + 2jcosω_0t sinω_0t -sin^2ω_0t \\ &=cos2ω_0t + jsin2ω_0t \\ &=f(2ω_0) \end{aligned}$

2.1 实例：利用卷积计算两个信号相乘

比如，我们有两个信号 $f(t), g(t)$，它们分别为： $f(t) = (cos2ω_0t + 5cosω_0t + 6) + j(sin2ω_0t + 5sinω_0t)$
$g(t) = (3cosω_0t + 2) + j3sinω_0t$

$f(t)$与 $g(t)$相乘，是肉眼可见的麻烦。那么如果用卷积运算的思想能不能简化一些呢？
首先，我们先对信号的表达式进行一些处理： $\begin{aligned} f(t) &= (cos2ω_0t + 5cosω_0t + 6) + j(sin2ω_0t + 5sinω_0t)\\ &=(cos2ω_0t + jsin2ω_0t ) + 5(cosω_0t + jsinω_0t ) + 6\\ &=e^{j2ω_0t } + 5e^{jω_0t } + 6 \end{aligned}$
$\begin{aligned} g(t) &= (3cosω_0t + 2) + j3sinω_0t\\ &=3(cosω_0t + jsinω_0t) + 2\\ &=3e^{jω_0t} + 2\\ \end{aligned}$
我们令： $e^{jω_0t} = x$，那么， $f(t), g(t)$就可以表示为:
$f(t) = x^2 + 5x + 6 = 6+5x + x^2$； $g(t) = 3x + 2$

这样，我们知道，卷积之和信号最高项次数为3，那么，由卷积运算公式，得：
$c[0] = a[0]b[0] = 12$
$c[1] = a[0]b[1] + a[1]b[0] = 10+18 =28$
$c[2] = a[0]b[2] + a[1]b[1] + a[2]b[0] = 2 + 15 +0 = 17$
$c[3] = a[0]b[3] + a[1]b[2] + a[2]b[1] + a[3]b[0] = 0 + 3 + 0 + 0 = 3$
因此，我们得到：卷积之后得到的信号按照降幂排列，各项的系数为：3、17、28、12

因此，输出信号可以表示为： $\begin{aligned} c(t) &= 3x^3 + 17x^2 + 28x + 12 \\ &= 3e^{j3ω_0t} + 17e^{j2ω_0t} + 28e^{jω_0t} + 12 \end{aligned}$
怎么样，卷积运算是不是比普通的强算简单？

三、卷积的生动理解

也许到这里，我们可能会计算离散信号的卷积了。可是，我们会有疑问：卷积到底还能来干啥？

下面，我们就来分析“卷积”的意义：

3.1 卷积能够用来解决什么问题？

这里我们需要了解两种概念：
【无记忆系统】

我们看看这个系统，它执行的是对输入信号+2的操作，那么这样的系统：当前的输出仅仅只取决于当前的输入，和之前的输入无关。这样的系统叫做“无记忆系统”

【记忆系统】：这里我们举一个例子就够：“冰冻三尺非一日之寒”。**某一天冰的厚度不仅取决于当天的温度、还取决于之前好几天的温度。**这就叫记忆系统。

那么卷积就是为了计算诸如此类的拥有记忆系统的输出问题

3.2 卷积运算的前提条件 —— 线性时不变系统

所谓“线性系统”，很简单，就是输出与输入成线性关系。（或者说满足叠加定理）

所谓“时不变系统”，就是系统的参数不随时间而变化，即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是从出现的时间不同。
（我们这里这样理解：先暂时抛开“记忆系统”，我们就考虑一个无记忆时不变系统：假设这个系统输入x，输出y（固定关系）。那么系统在 $t_1$时刻输入x，系统输出y；在 $t_2$时刻输入x，系统依然输出y，这两个y大小形状完全一样，只不过这两次y出现的时间不一样罢了）

如果系统满足线性时不变系统，再把记忆系统的条件加上，那么就可以用卷积的方法，将输入信号进行分解，分解成独立的脉冲序列。系统的输出就等于独立脉冲输出的累加。

3.3 图解卷积的意义

我们假设一个系统，在某一时刻突然收到一个输入信号，但瞬间就又消失了（一个冲击信号），那么系统就会像下图一样缓慢地恢复到原来的状态：

下面我们来看另一种情况：假设这个系统在恢复的过程中（比如说第2s）又收到一个一样的冲击，那么，它就变成这样了：

那么，它的输出会再一次增长（而且会增长到比第一次响应更大的位置），再开始衰减。
如果继续按每隔2s的频率给它冲激响应，就会变成下面这个样子：

那么，某一时刻 $t$系统的输出与什么有关呢？答案是：与每一次的冲击响应都有关，但是每一次冲击响应对 $t$时刻输出的贡献程度都不一样，距离 $t$最近的那一次冲击响应对输出的影响最大。

某一时刻的输出就是之前很多次输入（冲击响应）乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是这个系统的输出大小随时间变化的函数

如果冲击响应再密集一点，就有积分那味儿了：

因此卷积之后得到的结果就是记忆系统输出随时间变化的函数

3.4 卷积公式推导再回顾

还记得我们在3.3中提到的话吗？

如果系统满足线性时不变系统，再把记忆系统的条件加上，那么就可以用卷积的方法，将输入信号进行分解，分解成独立的脉冲序列。系统的输出就等于独立脉冲输出的累加。

那么，也就是说我们现在的工作就是先要把输入信号分解成独立的脉冲：

先引入单位冲击函数：
$δ(n) = \begin{cases} 1 &n= 0\\ 0 &n≠0 \end{cases}$
只有在n = 0时刻，才是单位冲击，其他时刻均为0
下面，我们设输入信号为 $x(n)$，某一时刻 $k$的输入为： $x(k)$，那么输入信号就可以分解为： $x(k)δ(n - k)$
也就是只有当n = k时，输出信号才有值，其他时候没有值。
于是，整个输入信号x(n)就可以表示为所有时刻输入值对应的脉冲信号的累加 $x(n) = \sum_{-∞}^{+∞}x(k)δ(n - k)$

然后，我们还有一个定义：单位脉冲响应：就是单位脉冲信号输入到系统后产生的输出。
如果系统的单位脉冲响应是 $h(n)$，那么独立脉冲输出的累加就是： $y(n) = \sum_{-∞}^{+∞}x(k)h(n - k)$
这就是卷积的公式！！

参考文献

[1][原创连载]深入浅出通信原理
[2] 信号处理-卷积