加强版斐波那契数列（矩阵快速幂）

关于快速幂的讲解可以参见我的上一篇博客《快速幂》

题目链接：又见斐波那契

题目描述 

这是一个加强版的斐波那契数列。

给定递推式

求F(n)的值，由于这个值可能太大，请对10 9+7取模。

输入描述:

第一行是一个整数T(1 ≤ T ≤ 1000)，表示样例的个数。
以后每个样例一行，是一个整数n(1 ≤ n ≤ 1018)。

输出描述:

每个样例输出一行，一个整数，表示F(n) mod 1000000007。

示例1

输入

4
1
2
3
100

输出

1
16
57
558616258

这个相比普通的斐波那契数列多了后面四项，看一眼数据范围，使用普通的o（n）的算法肯定会超时，

因此这里需要使用矩阵快速幂（斐波那契数列的项数n一旦过大，就要考虑快速幂，普通算法时间空间都开销太大）。

使用矩阵快速幂的一个关键问题就是矩阵递推式。

参考普通快速幂那一片博客最后面的那个扩展式，就可以得到下面这个递推式了：

然后通过计算等价替换可得出该矩阵A：

下面只需要把普通斐波那契数列的构造由2*2的矩阵换为6*6的即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector> 
#include <cstring>
 
using namespace std;

typedef long long ll;

// 用二维vector来表示矩阵 
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;

// 模 
const int M = 1000000007;

// 计算 A*B
mat mul(mat& A, mat& B) {
	mat C(A.size(), vec(B[0].size()));
	for ( int i = 0 ; i < A.size() ; ++ i ) {
		for ( int k = 0 ; k < B.size() ; ++ k ) {
			for ( int j = 0 ; j < B[0].size() ; ++ j ) {
				C[i][j] = (C[i][j]+A[i][k]*B[k][j]%M)%M;
			}
		}
	}
	return C;
}

// 计算 A^B
mat pow(mat A, ll n) {
	mat B(A.size(), vec(A.size()));
	for ( int i = 0 ; i < A.size() ; ++ i ) {
		B[i][i] = 1;
	}
	while ( n > 0 ) {
		if ( n & 1 ) B = mul(B, A);
		A = mul(A, A);
		n >>= 1;
	}
	return B;
} 

int main()
{
    int T;
    scanf( "%d", &T );
    ll n;
    mat A(6, vec(6));
    while ( T -- ) {
        scanf( "%lld", &n );
        if ( n == 0 ) { puts( "0" ); continue; }
        if ( n == 1 ) { puts( "1" ); continue; }
        for ( int i = 0 ; i < 6 ; ++ i ) {
        	for ( int j = 0 ; j < 6 ; ++ j ) {
        		A[i][j] = 0;
        	}
        }
        A[0][0] = 1; A[0][1] = 1; A[0][2] = 1; A[0][3] = 4; A[0][4] = 6; A[0][5] = 4;
        A[1][0] = 1;
        A[2][2] = 1; A[2][3] = 3; A[2][4] = 3; A[2][5] = 1;
        A[3][3] = 1; A[3][4] = 2; A[3][5] = 1;
        A[4][4] = 1; A[4][5] = 1;
        A[5][5] = 1;
        A = pow(A, n-1);
        ll ans = 0;
        for ( int i = 0 ; i < 6 ; ++ i ) {
        	if ( i == 1 ) continue;
			ans = (ans+A[0][i])%M;
        }
		printf( "%lld\n", ans );
    }  
    return 0;
}