统计学习方法 第二章 感知机

感知机是根据输入实例的特征向量 $x$对其进行二类分类的线性分类模型：

$f(x)=\operatorname{sign}(w \cdot x+b)$

感知机模型对应于输入空间（特征空间）中的分离超平面 $w \cdot x+b=0$。

感知机学习的策略：

极小化损失函数：

$\min _{w, b} L(w, b)=-\sum_{x_{i} \in M} y_{i}\left(w \cdot x_{i}+b\right)$

损失函数对应于误分类点到分离超平面的总距离。

算法简述：

感知机学习算法是基于随机梯度下降法的对损失函数的最优化算法，有原始形式和对偶形式。算法简单且易于实现。原始形式中，首先任意选取一个超平面，然后用梯度下降法不断极小化目标函数。在这个过程中一次随机选取一个误分类点使其梯度下降。

收敛性：

当训练数据集线性可分时，感知机学习算法是收敛的。感知机算法在训练数据集上的误分类次数 $k$满足不等式：

$k \leqslant\left(\frac{R}{\gamma}\right)^{2}$

当训练数据集线性可分时，感知机学习算法存在无穷多个解，其解由于不同的初值或不同的迭代顺序而可能有所不同。

二分类模型

$f(x) = sign(w\cdot x + b)$

$\operatorname{sign}(x)=\left\{\begin{array}{ll}{+1,} & {x \geqslant 0} \\ {-1,} & {x<0}\end{array}\right.$

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给定训练集：

$T=\left\{\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{N}, y_{N}\right)\right\}$

定义感知机的损失函数

$L(w, b)=-\sum_{x_{i} \in M} y_{i}\left(w \cdot x_{i}+b\right)$

---

算法说明：

随即梯度下降法 Stochastic Gradient Descent

随机抽取一个误分类点使其梯度下降。

$w = w + \eta y_{i}x_{i}$

$b = b + \eta y_{i}$

当实例点被误分类，即位于分离超平面的错误侧，则调整 $w$, $b$的值，使分离超平面向该无分类点的一侧移动，直至误分类点被正确分类

在这里；使用iris数据集中两个分类的数据和[sepal length，sepal width]作为特征

# 提取数据及可视化
import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

# load data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target

df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
df.label.value_counts()

data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
y = np.array([1 if i == 1 else -1 for i in y])

plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

感知机原始形式:

class Model:
    def __init__(self):
        self.w = np.zeros(len(data[0]) - 1, dtype = np.float32)
        self.b = 0
        self.learning_rate = 0.1
        
    def sign(self, x, w, b):
        y = np.dot(w, x)+b
        return y
    
    # 使用随机梯度下降法
    def fit(self, X_train, y_train):
        is_wrong = False
        while not is_wrong:
            wrong_count = 0
            for i in range(len(X_train)):
                X = X_train[i]
                y = y_train[i]
                if y * self.sign(X, self.w, self.b) <= 0:
                    self.w = self.w + self.learning_rate * np.dot(y, X)
                    self.b = self.b + self.learning_rate * y
                    wrong_count += 1
            if wrong_count == 0:
                is_wrong = True
        return '训练结束' 
# 训练模型
perceptron = Model()
perceptron.fit(X, y)

# 结果可视化
x_points = np.linspace(4, 7, 10)
y_ = -(perceptron.w[0] * x_points + perceptron.b) / perceptron.w[1]
plt.plot(x_points, y_)

plt.plot(data[:50, 0], data[:50, 1], 'bo', color='blue', label='0')
plt.plot(data[50:100, 0], data[50:100, 1], 'bo', color='orange', label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

感知机的对偶形式

对偶形式的基本想法是，将w和b表示为实例xi 和标记 yi 的线性组合的形式，通过求解其系数而求得w和b.
假设w0=0,b=0,那么当所有的点均不发生误判时，最后的w,b一定有如下的形式:

$w = \sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}\eta {y_i}{x_i}} = \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}} {y_i}{x_i}$

$b = \sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}\eta {y_i}} = \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}} {y_i}$
$α_i = n_i$代表对第i个样本的学习次数，感知机对偶形式的完整形式即为下式：
$f(x) = sign(\sum\limits_{j = 1}^N {{\alpha _j}} {y_j}{x_j} \cdot x + b)$
初始化α=0,b=0；任意选取(xi,yi)；如果 $y_i(\sum\limits_{j = 1}^N {{\alpha _j}} {y_j}{x_j} \cdot x_i + b)\le0$，即发生误判，则对αi,bi进行更新，重复直到所有点都被正确分类
$\alpha_i\leftarrow \alpha_i+\eta\\ b_i\leftarrow b_i+\eta y_i$

感知机的对偶形式就是把对w,b的学习变成了对α,b的学习，原始形式中，w在每一轮迭代错分时都需要更新，而采用对偶形式时，对于某一点(xi,yi)发生错分时，只需要更新其对应的αi即可，最后即可一次计算出w

同时上述步骤中的 $y_i(\sum\limits_{j = 1}^N {{\alpha _j}} {y_j}{x_j} \cdot x_i + b)\le0$ 可以看出 $x_j \cdot x_i$仅以内积的形式出现，因此我们可以是先计算出x的gram矩阵存储起来，这样正式训练时只需要查表就可以得到 $x_j \cdot x_i$的值，这样做可以方便程序的优化，提高运算的速度。 原始形式和对偶形式对参数b的处理是相同的。

代码如下

import random

def sign(v):
    if v>=0:
        return 1
    else:
        return -1

def train(train_num,train_datas,lr):
    w=0.0
    b=0
    datas_len = len(train_datas)
    alpha = [0 for i in range(datas_len)]
    train_array = np.array(train_datas)
    gram = np.matmul(train_array[:,0:-1] , train_array[:,0:-1].T)
    for idx in range(train_num):
        tmp=0
        i = random.randint(0,datas_len-1)
        yi=train_array[i,-1]
        for j in range(datas_len):
            tmp+=alpha[j]*train_array[j,-1]*gram[i,j]
        tmp+=b
        if(yi*tmp<=0):
            alpha[i]=alpha[i]+lr
            b=b+lr*yi
    for i in range(datas_len):
        w+=alpha[i]*train_array[i,0:-1]*train_array[i,-1]
    return w,b,alpha,gram

def plot_points(train_datas,w,b):
    plt.figure()
    x1 = np.linspace(0, 8, 100)
    x2 = (-b-w[0]*x1)/(w[1]+1e-10)
    plt.plot(x1, x2, color='r', label='y1 data')
    datas_len=len(train_datas)
    for i in range(datas_len):
        if(train_datas[i][-1]==1):
            plt.scatter(train_datas[i][0],train_datas[i][1],s=50)  
        else:
            plt.scatter(train_datas[i][0],train_datas[i][1],marker='x',s=50)  
    plt.show()

if __name__=='__main__':
    train_data1 = [[1, 3, 1], [2, 2, 1], [3, 8, 1], [2, 6, 1]]  # 正样本
    train_data2 = [[2, 1, -1], [4, 1, -1], [6, 2, -1], [7, 3, -1]]  # 负样本
    train_datas = train_data1 + train_data2  # 样本集
    w,b,alpha,gram=train(train_num=500,train_datas=train_datas,lr=0.01)
    plot_points(train_datas,w,b)