打素数表与欧拉函数

埃氏筛法

第一种
这种方法好处是每个素数的位置标记，可以直接取下标

int visit[maxn];  // 0 表示素数 1 表示非素数
void Prime(){
    memset(visit,0,sizeof(visit);           //初始化都是素数
    visit[0] = visit[1] = 1;  //0 和 1不是素数
    for (int i = 2; i <= maxn; i++) {
        if (!visit[i]) {         //如果i是素数，让i的所有倍数都不是素数
            for (int j = i*i; j <= maxn; j += i) { 
                visit[j] = 1;
            }
        }
    }
}

第二种
这种方法的好处是素数是连续的，用vector保存，不耗费内存

const int maxn=1005;
bool bk[maxn];
vector<int> v;
void find_Prime()
{
    //初始化， 打表
	memset(bk, 1, sizeof(bk));
	for(ll i = 2; i < maxn; i++)
	{
		for(ll j = i * i; j < maxn; j += i)
		{
			bk[j] = 0;
		}
	}
    //取出相应的素数
	for(ll i = 2; i < maxn; i++)
	{
		if(bk[i] == 1)
			v.push_back(i);
	}
}

欧拉筛法

这种方法的好处是素数是连续的

const int maxn=10000005;
int prime[maxn],visit[maxn];
void Prime(){
    memset(visit,0,sizeof(visit));
    memset(prime, 0,sizeof(prime));
    for (int i = 2;i <= maxn; i++) {
        cout<<" i = "<<i<<endl;
        if (!visit[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;      //纪录素数， 这个prime[0] 相当于 cnt，用来计数
        }
        for (int j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) {
//            cout<<"  j = "<<j<<" prime["<<j<<"]"<<" = "<<prime[j]<<" i*prime[j] = "<<i*prime[j]<<endl;
            visit[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
}

欧拉筛 求10亿以上的素数

const int maxn=100000;
int prime[maxn],visit[maxn];
void Prime(){
    memset(visit,0,sizeof(visit));
    memset(prime, 0,sizeof(prime));
    for (int i = 2;i <= maxn; i++) {
        cout<<" i = "<<i<<endl;
        if (!visit[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;      //纪录素数， 这个prime[0] 相当于 cnt，用来计数
        }
        for (int j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) {
//            cout<<"  j = "<<j<<" prime["<<j<<"]"<<" = "<<prime[j]<<" i*prime[j] = "<<i*prime[j]<<endl;
            visit[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
}
bool prime3(long long n)
{
    long long i;

    for(i=1;i<=prime[0];i++)
    {
        if(n%(prime[i])==0)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
int main()
{   

	Prime();
	long long j=1;
    for(long long i=1000000000; i<10000000000; i++)
        if(prime3(i)!=false)
            printf("%lld : %lld\n",j++,i);
}

欧拉函数求法

就是对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

欧拉函数的通式：φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)……(1-1/pn)*
其中p1, p2……pn为n的所有质因数，n是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

ll eular(ll n)
{
    ll ans = n;
    for(int i=2; i*i <= n; ++i)
    {
        if(n%i == 0)
        {
            ans = ans/i*(i-1);
            while(n%i == 0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans/n*(n-1);
    return ans;
}

欧拉筛加欧拉函数求法

void euler(int n)
{
	phi[1]=1;//1要特判 
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (flag[i]==0)//这代表i是质数 
		{
			prime[++num]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for (int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;j++)//经典的欧拉筛写法 
		{
			flag[i*prime[j]]=1;//先把这个合数标记掉 
			if (i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//若prime[j]是i的质因子，则根据计算公式，i已经包括i*prime[j]的所有质因子 
				break;//经典欧拉筛的核心语句，这样能保证每个数只会被自己最小的因子筛掉一次 
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//利用了欧拉函数是个积性函数的性质 
		}
	}
}

欧拉函数的一些性质：
① 当m,n互质时，有phi（m*n）= phi（m）*phi（n）；

② 若i%p==0，有phi（i*p） = p * phi(i)；

③ 对于互质x与p，有x^phi§≡1（mod p),因此x的逆元为x^(phi§-1)，即欧拉定理。
（特别地，当p为质数时，phi（p）=p-1,此时逆元为x^(p-2)，即费马小定理）

④ 当n为奇数时，phi(2n)=phi(n)

⑤ 若x与p互质，则p-x也与p互质，因此小于p且与p互质的数之和为phi(x)*x/2;

⑥N>1，不大于N且和N互素的所有正整数的和是 1/2 *N *eular(N)。

⑦若(N%a == 0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

⑧若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);