数列极限

数列极限的定义

数列的定义：

$n \in N_{+} ~,~ 实数 x_{n} 与 n 对应，并按照下标n（不是按照x_{n}）从小到大排列：$

• $x_{1}, x_{2}, x_{3},..., x_{n},...$
• $x_{n} = f(n), n \in N_{+}$

数列极限的定义：

$\lim_{n->\infty} x_{n}=L\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists 正整数 N, 当 n > N 时, 有 \left | x_{n}-L \right |<\epsilon$

p.s. $\forall 代表任意， \exists 代表存在$。

更为简洁的表达：

$\forall \epsilon >0 ~~\exists N~~\forall n\begin{bmatrix} n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} a_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon \end{bmatrix}$

如果理解上面的式子呢？

在《如何意会微积分》中，我们介绍了【极限思想】以及【微分】【积分】(记得回来)。

而微分的定义方式却不明确，因为之前的极限定义是建立在无穷小的基础上的，于是就有一个大问题了 -> 【无穷小危机】(记得回来)。

$定义【 \bigtriangleup x 无限接近于 0】的三个困难：$

• $\bigtriangleup x 无限接近于 0，但 \bigtriangleup x\neq 0，否则无穷多个 0 相加依然等于 0；$

• $\bigtriangleup x 无限接近于 0，又必须最接近 0，不可能有什么实数比 \bigtriangleup x 更接近 0；$

• $\bigtriangleup x 最接近于 0，所以 \bigtriangleup x 一定不能是实数，否则 \frac{\bigtriangleup x}{2} 会比 \bigtriangleup x 更接近于 0。$

$\bigtriangleup x 到底是什么？什么又是 \bigtriangleup x 无限接近于 0？$

这时就要采用动态的视角定义 $\bigtriangleup x$ 啦，具体的思路请见《定义动态概念的思路：逆向思维》

p.s 链接有点多，但如果您没有理解上面数列极限定义的式子不妨看看，一步步推导。

现在您已经知道微积分的思想了，我们再回过头看这个式子就很简单了。

其实思想是一样的，只不过数学家们用数学语言描述起来更加严谨，您也可以用编程模拟。

数列极限的定义解读，以及理解复杂式子的方法请看：《描述数列极限：（ε-N）语言》(记得回来)。

按照流程，不出意外的话，您已经了解了微积分的思想，也能读懂数列极限的定义了。
 

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数列极限的练习

接下来，我们做个练习巩固一下。

• 求 $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} \frac{1}{n} \end{Bmatrix}$，即 $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=?$

在Geobra，画出数列的图像：

合理猜测数列的极限为 0，也就是假设：

• $L=0$

接着验证这个假设是否正确， $\forall \epsilon >0$ 的意思是随意选一个 $\epsilon$，如 $\epsilon =0.3$，以 $L$ 为中心构建区间：

只有三个点在区间外，再用极限定义计算下，区间内的点需要满足的条件是：

• $\begin{vmatrix} x_{n}-L \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_{n}-0 \end{vmatrix}=\frac{1}{n}<\epsilon =0.3$

解不等式，可得以下条件满足时，上述不等式成立：

• $n>\frac{1}{\epsilon }=3.333\cdots$

当 $n>4$ 时，此不等式不成立。

进一步假设 $N = 4$ ，此时 $n>N=4$ 时，排除掉前四个点，从第五个点开始就全在区间内了：

可见，多排除了一个点。不过不重要，我们关心的是否有无数点在区间内，多一个、少一个对判断没影响。

如果换成数学语言就是， $\epsilon =0.3$ 时, $\exists N=4,~\forall n>N=4，$有 $\begin{vmatrix} x_{n}-0 \end{vmatrix}<\epsilon =0.3$。

再进一步减小， $\epsilon$取 $0.18$ 又如何：

从图中看出，N最小为 5。

如果任意选择正数 $\epsilon$，需要满足： $\begin{vmatrix} x_{n}-L \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_{n}-0 \end{vmatrix}<\epsilon$。

因为 $x_{n}>0$，所以 ： $x_{n}<\epsilon \Rightarrow \frac{1}{n}<\epsilon \Rightarrow n>\frac{1}{n}$。

因此，只要选择 $N>\frac{1}{\epsilon }$，就 $\forall n>N$ 时有： $\begin{vmatrix} x_{n}-0 \end{vmatrix}<\epsilon$。

用数学语言来书写：对于 $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$，假设 $L=0,~ \forall \epsilon >0, ~\exists N\in \mathbb{Z_{+}}>\frac{1}{\epsilon },~\forall n>N$，有： $\begin{vmatrix} x_{n}-L \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_{n}-0 \end{vmatrix}<\epsilon$。

数学语言和编程语言一样，多用就会了，因此： $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0(L)$。
 

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数列极限的证明

如何用极限的定义来证明数列的极限 ？

思路：按照定义，用 $\epsilon$ 求 $N$

定义： $\forall \epsilon >0 ~~\exists N~~\forall n\begin{bmatrix} n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} a_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon \end{bmatrix}$

证明步骤：

• 先猜测一个 $\epsilon$，任意的；
• 确定 $\epsilon$ 后，因为总存在一个 $N$，再求出 $N$；
• 找到 $N$，说明结论正确。

动手实践：

• 证明数列： $2, ~\frac{1}{2},~ \frac{4}{3}, ~\frac{3}{4}, ~...,~\frac{n+(-1)^{n-1}}{n},~ ...$

已知条件：这个数列的极限是 $1$（证明是先知道条件，再证明；而我们解题时，一般是已知一个数列，让我们去计算极限）。

这个数列的极限就是 $1$： $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1$。

极限是 $1$，就减去 $1$，要证明这个公式： $\left | x_{n}-1 \right |<\epsilon$。

带入 $x_{n}$ 的通项公式： $\left | \frac{n+(-1)^{n-1}}{n}-1 \right |<\epsilon$。

要在这个等式成立的情况下，找出 N 证明就完成了。

进一步化简：

$\left | \frac{n+(-1)^{n-1}}{n}-\frac{n}{n} \right |<\epsilon$

$~~~~~~~~~~~\left | \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right |<\epsilon$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\frac{1}{n}<\epsilon$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~n>\frac{1}{\epsilon }$

$\epsilon$ 是任意一个正数，所以 $\frac{1}{\epsilon}$ 是一个实数。

无论这个实数是多少，只要 $n>\frac{1}{\epsilon}$ 即可。

令 $N=\left [ \frac{1}{\epsilon } \right ]$（取整），所以 $N< \frac{1}{\epsilon }$，于是 $n>N$，的确存在这样一个 $N$，所以 $\left | a_{n}-1 \right |<\epsilon$，证毕。

如果数列的极限不是真的，是找不到 $N$ 啦。
 

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数列极限重要性质

数列极限的重要性质及证明主要有 4 个。

• 极限唯一性：如果数列{ ${x_{n}}$}是收敛的，那只有一个极限；
• 有界：有界不一定收敛，单调有界数列必有收敛；
• 保号
• 子数列收敛于同数列
   

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唯一性

采用反证法，证明数列极限唯一性

假设数列有俩个不相等的极限 a、b，a < b。

根据极限定义：

• $\exists N_{1}，当 ~n>N_{1}, ~\left | x_{n}-a \right |<\epsilon$
• $\exists N_{2}, ~ ~当~ n>N_{2}, ~\left | x_{n}-a \right |<\epsilon$

因为 $\epsilon$ 是任意的，我们取 $\epsilon = \frac{b-a}{2}$。

• $\exists N_{1}, ~当~ n>N_{1}, ~\left | x_{n}-a \right |<\epsilon = \frac{b-a}{2}$
• $\exists N_{2}, ~当~n>N_{2}, ~\left | x_{n}-a \right |<\epsilon= \frac{b-a}{2}$

$N=Max(N_{1},N_{2})$, 当 $n>N$，展开第一个式子：

$-\frac{b-a}{2}<x_{n}-a<\frac{b-a}{2}$

$a-\frac{b-a^{2}}{2}<x_{n}<\frac{b-a^{2}}{2}+a$

$~~~~~~~\frac{3a-b}{2}<x_{n}<\frac{b+a}{2}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_{n}<\frac{b+a}{2}$

接着算第二个极限是 b 的，算出 $x_{n}>\frac{b+a}{2}$，和第一个极限是 a 的矛盾了。

所以说，数列如果收敛的，那TA的极限是唯一的。

例如，证明 $x_{n}=(-1)^{n+1}~~(n=1, 2,...)$ 是发散的。

$\epsilon$ 任意取，如 $\frac{1}{2}$ 。

证明过程略，这个数列是发散的，而非收敛的，所以是唯一性的反例。
 

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有界

有界不一定收敛，单调有界数列必有收敛（数列有一个最大值）。

有界的意思：数列{ $x_{n}$} < 某个数…如果一个数列有极限，那它一定是有界的。

假设一个数列{ $x_{n}$}趋近于无穷，极限是 $L$。

$\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=L$

根据定义，一定会存在 $\exists N$, 当 $n > N$时， $\left | x_{n}-L \right |<\epsilon$。

先猜测一个 $\epsilon$，如 $\epsilon = 1$。

$\left | x_{n}-L \right |<1$

$\left | x_{n} \right |=\left | (x_{n}-L)+L \right |$

根据不等式的性质：

$\left | x_{n} \right |=\left | (x_{n}-L)+L \right |<\left | x_{n}-L \right |+\left | L \right |$

$\because \left | x_{n}-L \right |<1$

$\therefore \left | x_{n} \right |=\left | (x_{n}-L)+L \right |<\left | x_{n}-L \right |+\left | L \right | < 1+\left | L \right |$

当 $n > N$ 时，必然有 $\left | x_{n} \right |<1+\left | L \right |$。

当 $n \leqslant N$ 时，有 $x_{1}, x_{2}, ... ,x_{n}$个数， $1+\left | L \right |$就是要在里面取一个最大值Max， $\left | x_{n} \right |<Max$。

所以如果一个数列有极限，那它一定是有界的；但反过来说，有界却不一定有极限。
 

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保号

如果数列的极限是大于0的，那从数列的某一项开始，数列的每一项都大于0。

pass

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子数列收敛于同极限

pass