POJ 2914 stoer-wagner 全局最小割

题意

传送门 POJ 2914

题解

算法思路

$stoer-wagner$ 基本思路 是对于任意 $2$ 个节点 $s,t$ 全局最小割可能为 $s-t$ 最小割；反之，将 $s,t$ 合并为 $1$ 个点对答案无影响。那么只要每次找到一个 $s-t$ 最小割并更新答案，再将 $s,t$ 合并，缩小问题规模，直到图中仅剩 $1$ 个点为止即可。

算法的 子问题 则是如何找到一个 $s-t$ 最小割。

假设已知一个不可能出现在 $s-t$ 最小割中的边的端点组成的中间点集 $A$，任取一个非 $\{s,t\}$ 节点即可满足这个条件。对于 $s-t$ 最小割，割边 $e\in E_{u\in V/A,v\in V/A}(u,v)\cup E_{u\in A,v\in V/A}(u,v)$，在 $V/A$ 中的最小割边权值是一定的。现在关注 $E_{u\in A,v\in V/A}(u,v)$ ，对于最小割而言，此时该边集的最大值不可能出现在 $s-t$ 最小割中（边数大于 $2$ 时），将最大值对应的边属于 $V/A$ 的点加入 $A$ ，更新 $V/A$ 中的点到 $A$ 的边权和。重复更新 $A$ 至 $V/A$ 剩余 $1$ 个点，该点到 $A$ 的边权和即 $s-t$ 最小割。

算法步骤

step1：假设已知一个不可能出现在 $s-t$ 最小割中的边的端点组成的中间点集 $A$，任取一个非 $\{s,t\}$ 节点即可满足这个条件。

step2：寻找一个节点 $v\in V/A$，使任意边 $E_{u\in A}(u,v)$ 都不可能出现在 $s-t$ 最小割中，加入点集 $A$，更新顶点 $v\in V/A$ 到中间点集 $A$ 的边权和（形似 prim 算法），并记录最后一次加入的节点。重复 step2 直到剩余 $\{A,t\}$。

step3：此时的 $A-t$ 割即 $s-t$ 最小割。最后一次加入的节点为 $s$，合并 $s,t$ 为点 $s$，即将与 $t$ 相连的边连到 $s$。减少总点数，跳到 step1 直到点数为 $1$。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#define min(a,b)    (((a) < (b)) ? (a) : (b))
#define max(a,b)    (((a) > (b)) ? (a) : (b))
#define abs(x)    ((x) < 0 ? -(x) : (x))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define delta 0.85
#define eps 1e-5
#define PI 3.14159265358979323846
using namespace std;

#define MAX_V 500
bool used[MAX_V];
int ver[MAX_V], flow[MAX_V]; // 顶点值，与当前中间点集的边权和
int G[MAX_V][MAX_V];

int stoer_wagner(int V){
	for(int i = 0; i < V; i++) ver[i] = i;
	int mincut = INF;
	while(V > 1){
		memset(flow, 0, sizeof(flow));
		memset(used, 0, sizeof(used));
		// 初始化中间点集
		int s, t = 0;
		for(int i = 1; i < V; i++){
			used[ver[t]] = 1;
			int k = -1;
			for(int j = 0; j < V; j++){
				if(!used[ver[j]]){
					flow[ver[j]] += G[ver[t]][ver[j]];
					if(k == -1 || flow[ver[j]] > flow[ver[k]]) k = j;
				}
			}
			// 下一个加入中间点集的点索引值
			t = k;
			if(i == V - 1){
				mincut = min(mincut, flow[ver[t]]);
				// 合并 s，t 为 s
				for(int j = 0; j < V; j++){
					G[ver[s]][ver[j]] += G[ver[t]][ver[j]];
					G[ver[j]][ver[s]] += G[ver[j]][ver[t]];
				}
				ver[t] = ver[--V];
			}
			else{
				s = t;
			}
		}
	}
	return mincut;
}

#define MAX_N 500
#define MAX_M 125000
int N, M;
int A[MAX_M], B[MAX_M], C[MAX_M];

void solve(){
	memset(G, 0, sizeof(G));
	for(int i = 0; i < M; i++){
		// 处理重边
		G[A[i]][B[i]] += C[i];
		G[B[i]][A[i]] += C[i];
	}
	printf("%d\n", stoer_wagner(N));
}

int main(){
	while(~scanf("%d%d", &N, &M)){
		for(int i = 0; i < M; i++) scanf("%d%d%d", A + i, B + i, C + i);
		solve();
	}
	return 0;
}