Stoer-Wagner算法小结

介绍

这是个用来求全局最小割的算法，就是找一个割将无向图切成两份。

尽量写得清新易懂一点qwq，可能会有些啰嗦……

正题

算法建立在这个事实基础上：

对于两个点 $x,y$，去掉割边后要么在同一个连通块，要么不在同一个连通块。

咋一看像句废话，但实际上是个相当有用的性质。

假如在同一连通块内，对于一个在另一个连通块内的点 $z$，$x$ 和 $y$ 到 $z$ 的所有路径都应该被切断了。这意味着，我们其实可以将 $x,y$ 放在一起考虑，即 将 $x,y$ 合并成一个点。

那么算法大体流程就是：随便找两个点 $x,y$，求出他们的最小割更新答案，然后将他们合并在一起，一共合并 $n-1$ 次。

剩下的问题就是如何快速随便找一个两点间的割了，Stoer-Wagner算法提供了一种 $n^2$ 的做法。

• 假设目前剩余 $n^{\prime }$ 个点，我们考虑按一种奇妙的顺序将其放入一个 $A$ 序列，定义 $w_i={\sum }_{j=1}^{|A|}f(i,A_j)$，$f(x,y)$ 是指 $x,y$ 间的边权，每次就将 $w$ 最大的那个点丢到 $A$ 序列的末尾。

• 然后设 $A$ 序列中最后两个点为 $S,T$，这意味着我们要求的就是最后两个点的割。设图为 $G=(V,E)$，最后这个割为 $C\in E$。

• 设 $A$ 序列中 $x$ 之前的点以及相关的所有边形成的子图中，包含的割边集合为 $C_x$。定义点 $A_i$ 是active的，当且仅当满足去掉割边（即 $C$ 集合）后，$A_{i-1}$ 和 $A_i$ 不在同一个连通块内。接下来有一个结论：对于所有active的点 $x$，都有 $w_x\le W(C_x)$，其中 $W(C_x)$ 表示 $C_x$ 这个割的容量。

• 先假装这个结论是对的，那么对于点 $T$，他是 $A$ 序列中最后一个点，意味着 $C_T=C$，而 $C$ 这个割一定会将 $S,T$ 分开，所以 $T$ 一定是active的，那么有 $w_T\le W(C)$，也就是说，$w_T$ 就是 $S,T$ 这个割的下界。然而回想 $w_T$ 的定义，发现 $w_T$ 就是与 $T$ 相连的所有边权值之和，如果断掉与 $T$ 相连的所有边，$S,T$ 是一定不连通的，这意味着 $w_T$ 就是一个割的容量，并且是所有割中容量最小的那个，也就是我们要找的最小割。

也就是说，有了这个结论的话，我们就可以 $O(n^2)$ 求出最小割的容量了，接下来就是如何证明这个结论：

使用归纳法，先考虑 $A$ 序列中第一个active的点。对于这个点 $x$，不等式恰好取等号（即 $w_x=W(C_x)$），因为在 $x$ 之前的点都在同一个连通块内，要让 $x$ 不与他们在同一个连通块内，就要割掉 $x$ 与他们之间的所有边。

假设 $x$ 点之前的所有active的点（包括 $x$）都满足该结论，并且 $x$ 是active的，此时需要证明 $x$ 往后第一个active的点 $y$ 也是满足的。

对于 $w_y$，组成部分有 $y$ 连向 $x$ 之前的边，以及 $y$ 连向 $x$ 到 $y$ 这些点的边。对于第一部分，这部分显然不大于 $w_x$，因为它晚于 $x$ 加入 $A$ 序列。对于第二部分，由于 $y$ 是active的，所以这些点都与他不在同一连通块，$y$ 与他们之间的边全部都要割掉，所以这部分等于 $W(C_y/C_x)$。

整理一下，我们有 $w_y\le w_x+W(C_y/C_x)$ 以及 $w_x\le W(C_x)$，即：
$$\begin{array}{rl}{w}_y& \le W(C_x)+W(C_y/C_x)\\ w_y& \le W(C_y)\end{array}$$

于是结论得证。

那么接下来就是代码了，代码倒是十分清新：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 610

int n,m,f[maxn][maxn];
int A[maxn],w[maxn],S,T;
bool del[maxn],vis[maxn];
int solve(int x){
    
    
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	memset(w,0,sizeof(w));w[0]=-1;
	for(int i=1;i<=n-x+1;i++){
    
    
		int pos=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(!del[j]&&!vis[j]&&w[j]>w[pos])pos=j;
		vis[pos]=true;A[i]=pos;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(!del[j]&&!vis[j])w[j]+=f[pos][j];
	}
	S=A[n-x];T=A[n-x+1];
	return w[T];
}
int Stoer_Wagner(){
    
    
	int re=1e9;
	for(int i=1;i<n;i++){
    
    
		re=min(re,solve(i));
		del[T]=true;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			f[S][j]+=f[T][j],f[j][S]+=f[j][T];
	}
	return re;
}

int main()
{
    
    
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++)
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&z),f[x][y]+=z,f[y][x]+=z;
	printf("%d",Stoer_Wagner());
}