数学归纳法证明双色汉诺塔问题并用C++实现

问题描述

问题描述的很清楚，我们可以理解成这是一个代编号的汉诺塔问题，编号大的盘子一定大，且编号为偶数的不能相邻排放，编号为奇数的也不能相邻排放。

问题分析

这个问题除了规则三其余规则都和标准汉诺塔一致，问题是要证明Hanoi塔算法不违反规则三。
用数学归纳法。设hanoi(n,A,B,C)是将塔座A上的n个圆盘，以塔座C为辅助塔座，移到目的塔座B上的标准Hanoi塔算法归纳假设：
当圆盘个数小于n时，hanoi(n,A,B,C)不违反规则三，且在移动过程中，目的塔座B上最低圆盘的编号与n具有相同奇偶性，辅助塔座C上的最低圆盘与n具有不同奇偶性当圆盘个数为n时，标准Hanoi塔算法hanoi(n,A,B,C)由以下三个步骤组成：
（1）.hanoi(n-1,A,B,C);
（2）.move(A,B)
（3）,hanoi(n-1,C,B,A)
按归纳假设，步骤(1)不违反规则(3),且在移动过程中，塔座C上最低圆盘的编号与n-1具有相同奇偶性，塔座B上最低圆盘的编号与n-1具有不同奇偶性，从而B塔座上最低圆盘的编号与n具有相同奇偶性，塔座C上最低圆盘的编号与n相同。
步骤(2)也不违反规则三，且塔座B上最低圆盘的编号与n相同。
按照归纳假设，步骤(3)不违反规则三，且在移动过程中，塔座B上倒数第二个圆盘的编号与n-1具有相同奇偶性，塔座A上最低圆盘与n-1具有不同的奇偶性，从而塔座B上倒数第二个圆盘的编号与n具有不同奇偶性，塔座A上最低圆盘与n具有相同奇偶性。因此在移动过程中，塔座B上圆盘不违反规则三，而且塔座B上最低圆盘的编号与n具有相同奇偶性，塔座C上最低圆盘的编号与n具有不同奇偶性。由数学归纳法可知，hanoi(n,A,B,C)不违反规则三。
由于我们的最终目的塔座是在B上的，所以B上的最低圆盘应该就是n，这个没有任何争议，所以倒数第二个和n具有不同的奇偶性
其次如果大家画图的话，可以发现，我们最后是把C上的圆盘借助A移动到B上，我们会将C上的n-2个圆盘，先移动到A上，然后将C上的最后于一个圆盘移动到B上，所以C上的最后一个圆盘与n具有不同奇偶性。但是A上的最低圆盘是n-2,所以它与n具有相同的奇偶性。然后依次移动，再将A上的n-3个盘子移动到C上，然后A再移动到B上，依次类推，我们会发现A的最低圆盘一直与n奇偶性相同，C的最低圆盘始终与n的奇偶性不同。因此上述归纳推理成立。

代码

#include<iostream>
#include <windows.h>
using namespace std;
LARGE_INTEGER frequency;//时间对象
double dff,begin_,_end,time;//时钟频率，起始时间，结束时间，时间差
void Hanoi(int n,char a,char b,char c)
{
    if(n>0)
    {
        Hanoi(n-1,a,c,b);  //将n-1个盘子从A柱移到B柱，C作为过渡柱
        cout << n << a << "->" << c << endl;  //将A柱上剩下的一个直接移到C柱
        Hanoi(n-1,b,a,c);  //将n-1个盘子从B柱移到C柱，A作为过渡柱
    }
}
int main()
{
    int n;
    char a = 'A',b = 'B',c = 'C';
    cout<<"Input a number of disk:";
    cin>>n;
    QueryPerformanceFrequency(&frequency);//获得时钟频率
    dff=(double)frequency.QuadPart;//取得频率
    QueryPerformanceCounter(&frequency);
    begin_=frequency.QuadPart;//获得初始值
    Hanoi(n,a,b,c);
    QueryPerformanceCounter(&frequency);
    _end=frequency.QuadPart;//获得终止值
    time=(_end-begin_)/dff;//差值除以频率得到时间
    cout<<"运行时间为:"<<time*1000<<"ms"<<endl;
    return 0;
}

总结

数学归纳对于算法证明很重要啊，这方面还需要加强。