风控模型—WOE与IV指标的深入理解应用

风控业务背景

在评分卡建模流程中，WOE（Weight of Evidence）常用于特征变换，IV（Information Value）则用来衡量特征的预测能力。风控建模同学可能都很熟悉这两者的应用，但我们仍然可能疑惑诸如“如何调整WOE分箱？“、“WOE与LR之间的关系？”这些问题。

很多文章都已经讨论过这一命题，本文吸取归纳了前人的优秀成果，以期对WOE和IV给出一套相对完整的理论解释。主要创新点在于：

用图表可视化展示WOE和IV指标的计算过程和业务含义，适用于快速入门实践的读者。
从信息论、贝叶斯理论角度来阐述其中蕴含的数学原理，适用于希望加深理解的读者。

目录
Part 1. WOE和IV的应用价值
Part 2. WOE和IV的计算步骤
Part 3. WOE定义的初步猜想
Part 4. 从贝叶斯角度理解WOE
Part 5. WOE与评分卡的渊源
Part 6. 从相对熵角度理解IV
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参考资料

Part 1. WOE和IV的应用价值

WOE（Weight of Evidence）叫做证据权重，大家可以思考下为什么会取这个名字？

那么WOE在业务中常有哪些应用呢？

处理缺失值：当数据源没有100%覆盖时，那就会存在缺失值，此时可以把null单独作为一个分箱。这点在分数据源建模时非常有用，可以有效将覆盖率哪怕只有20%的数据源利用起来。
处理异常值：当数据中存在离群点时，可以把其通过分箱离散化处理，从而提高变量的鲁棒性（抗干扰能力）。例如，age若出现200这种异常值，可分入“age > 60”这个分箱里，排除影响。
业务解释性：我们习惯于线性判断变量的作用，当x越来越大，y就越来越大。但实际x与y之间经常存在着非线性关系，此时可经过WOE变换。

IV（Information Value）是与WOE密切相关的一个指标，常用来评估变量的预测能力。因而可用来快速筛选变量。在应用实践中，其评价标准如下：

在此引用一段话来说明两者的区别和联系：

1. WOE describes the relationship between a predictive variable and a binary target variable.
2. IV measures the strength of that relationship.

Part 2. WOE和IV的计算步骤

在定性认识到WOE和IV的应用价值后，我们就慢慢揭开其面纱，从理性角度进行分析。通常其公式定义如下：

$WOE_i = ln(\frac{Bad_i}{Bad_T} / \frac{Good_i}{Good_T}) = ln(\frac{Bad_i}{Bad_T}) - ln(\frac{Good_i}{Good_T}) \tag{1}$

而IV的计算公式定义如下，其可认为是WOE的加权和。为什么会定义成这样？

$IV_i = (\frac{Bad_i}{Bad_T} - \frac{Good_i}{Good_T}) * WOE_i \\ = (\frac{Bad_i}{Bad_T} - \frac{Good_i}{Good_T}) *ln(\frac{Bad_i}{Bad_T} / \frac{Good_i}{Good_T})\\\ IV = \sum_{i=1}^{n}{IV_i} \tag{2}$

为帮助大家理解，现以具体数据介绍WOE和IV的计算步骤，如图1所示。

step 1. 对于连续型变量，进行分箱（binning），可以选择等频、等距，或者自定义间隔；对于离散型变量，如果分箱太多，则进行分箱合并。
step 2. 统计每个分箱里的好人数(bin_goods)和坏人数(bin_bads)。
step 3. 分别除以总的好人数(total_goods)和坏人数(total_bads)，得到每个分箱内的边际好人占比(margin_good_rate)和边际坏人占比(margin_bad_rate)。
step 4. 计算每个分箱里的 $WOE = ln(\frac{margin\_badrate}{margin\_goodrate})$
step 5. 检查每个分箱（除null分箱外）里woe值是否满足单调性，若不满足，返回step1。注意⚠️：null分箱由于有明确的业务解释，因此不需要考虑满足单调性。
step 6. 计算每个分箱里的IV，最终求和，即得到最终的IV。
备注：好人 = 正常用户，坏人 = 逾期用户

图 1 - WOE和IV计算

另外还需要注意什么呢？

分箱时需要注意样本量充足，保证统计意义。
若相邻分箱的WOE值相同，则将其合并为一个分箱。
当一个分箱内只有好人或坏人时，可对WOE公式进行修正如下：

$WOE_i = ln((\frac{Bad_i + 0.5}{Good_i + 0.5}) / (\frac{Bad_T}{Good_T})) \tag{3}$

在实践中，我们还需跨数据集检验WOE分箱的单调性。如果在训练集上保持单调，但在验证集和测试集上发生翻转而不单调，那么说明分箱并不合理，需要再次调整。下图是合理的WOE曲线变化示例。

图 2 - 左为训练集WOE曲线，右为测试集WOE曲线（都单调）

这里提前给大家留下问题：为什么要保持WOE曲线要保持单调性？在某些情况下是不是可以不满足单调性？是不是线性就更好？WOE曲线的斜率是否越陡越好？

Part 3. WOE定义的初步猜想

为了搞清楚为什么WOE公式是如此定义的，我们尝试对其进行各种变换。

$WOE_i = ln(\frac{Bad_i}{Bad_T} / \frac{Good_i}{Good_T}) = ln(\frac{Bad_i}{Bad_T}) - ln(\frac{Good_i}{Good_T}) \tag{4}$

WOE = ln (第i个分箱的坏人数 / 总坏人数) - ln (第i个分箱的好人数 / 总好人数)

此时可以理解为：每个分箱里的坏人分布相对于好人分布之间的差异性。

我们对公式再变换为：

$WOE_i = ln(\frac{Bad_i}{Bad_T} / \frac{Good_i}{Good_T}) = ln(\frac{Bad_i}{Good_i}) - ln(\frac{Bad_T}{Good_T}) \tag{5}$

WOE = ln (第i个分箱的坏人数 / 第i个分箱的好人数) - ln (总坏人数 / 总好人数)

此时可以理解为：每个分箱里的坏好比(Odds)相对于总体的坏好比之间的差异性。

但是，为什么要再套一个对数ln？

之前看到一种解释是为了进行平滑处理。那么为什么不引入拉普拉斯平滑，也就是在分子分母中都加上一个数？如果加上1，那么公式推导如下：

$(\frac{Bad_i}{Good_i} + 1) / (\frac{Bad_T}{Good_T} + 1) \\ = (\frac{Bad_i + Good_i}{Good_i}) / (\frac{Bad_T + Good_T}{Good_T}) \\ \tag{6} = Good\_Rate_T / Good\_Rate_i$

此时含义是：总体good_rate相对于分箱内good_rate的倍数。

其实发现这种形式会更符合我们的直觉。因此，“取对数是为了平滑处理”——这种解释无法说服我们。

同时，我们又会疑惑为什么不把WOE定义为：

$ln[(\frac{Bad_i}{Good_i} + 1) / (\frac{Bad_T}{Good_T} + 1)] = ln(Bad\_Rate_T / Bad\_Rate_i) \tag{7}$

因此，我们发现无法通过常规思维去理解这一切，于是开始去寻找新的工具。

Part 4. 从贝叶斯角度理解WOE

贝叶斯理论认为我们认知世界是一个循序渐进的过程，首先我们有一个主观的先验认知，进而不断通过观测数据来修正先验认知，得到后验认知。随着这个过程不断迭代，我们对世界的认识也就越来越完善。其中，从观测数据中提取信息来支撑我们的原始假设就是WOE。

在信贷风控中，识别好人和坏人也是同样的道理。我们根据历史样本数据形成一个先验认知：

$\left\{ \begin{aligned} P(Bad) = \frac{Bad_T}{Good_T + Bad_T} \\ P(Good) = \frac{Good_T}{Good_T + Bad_T} \\ \end{aligned} \right. \\ => Odds = \frac{P(Bad)}{P(Good)} = \frac{Bad_T}{Good_T} \tag{8}$

当Odds小于1时，预测为Good的概率更高，此时我们认为一般情况下都是好人。但实际中样本会受到各种因素（自变量）影响而导致变坏。

因此，我们就开始搜集样本的各种特征，希望这些证据能帮助我们对这个样本全貌有更为全面的理解，进而修正我们的先验认识。这个过程用公式可以表达如下。提示：留意两侧为什么会取自然对数ln，而不是log？

$\left\{ \begin{aligned} p(Y=Bad| X) = \frac{p(X|Y=Bad)p(Y=Bad)}{P(X)} \\ p(Y=Good|X) = \frac{p(X|Y=Good)p(Y=Good)}{P(X)} \\ \end{aligned} \right. \\ \Rightarrow \frac{p(Y=Bad|X)}{p(Y=Good|X)} = \frac{p(X|Y=Bad)p(Y=Bad)}{p(X|Y=Good)p(Y=Good)} \\ \Rightarrow ln(\frac{p(Y=Bad|X)}{p(Y=Good|X)}) = ln(\frac{p(X|Y=Bad)}{p(X|Y=Good)}) + ln( \frac{p(Y=Bad)}{p(Y=Good)}) \\ \Rightarrow ln(\frac{Bad}{Good}) = WOE + ln( \frac{Bad_T}{Good_T}) \\ \Rightarrow WOE = ln(\frac{Bad}{Good}) - ln( \frac{Bad_T}{Good_T}) \tag{9}$

其中， $ln(\frac{p(Y=Bad|X)}{p(Y=Good|X)})$ 表示后验项； $ln(\frac{p(X|Y=Bad)}{p(X|Y=Good)})$ 表示根据观测数据更新信息，即WOE； $ln( \frac{p(Y=Bad)}{p(Y=Good)})$ 表示先验项。

如果搜集到的数据与先验认知的差距不大，我们就认为这个数据中得到的证据价值不大，反之则认为带来的信息越多。因此，WOE用以衡量对先验认识修正的增量，这就是WOE被取名为“证据权重”的原因。

Part 5. WOE与评分卡模型的渊源

评分卡模型基于假设“历史样本和未来样本服从同一总体分布”，故而才能从历史样本中归纳出数理统计规律来预测未来样本的表现。评分卡通常采用逻辑回归（Logistics Regression）进行建模，其原因有很多，比如可解释性、简单模型、小样本学习等等。

小样本学习？

我们从“数据->信息->知识->决策”框架来解释完整的流程。

step 1. 从不同信道里获取了观测数据（Data），并从中提取了特征X。
step2. 此时发现各渠道采集的信息并不在一个尺度上，无法融合。因此，我们通过WOE变换对信息进行处理，将其对标到统一尺度上。
step3. LR模型对不同信息采用不同权重(weight)进行加权融合，并通过sigmoid函数映射为0～1的概率。
step4. 基于LR模型的输出结果，人工进行决策，判定好人还是坏人。

图 3 - LR模型

初识WOE是在评分卡模型中，当时仍不懂它们之间的关系。我们可能会疑惑，WOE是在建立评分卡理论时应运而生，还是属于一种通用的信息变换方法？

为了简化处理，我们只考虑一个自变量 $x$ ，那么评分卡模型的形式为：

$ln(\frac{p}{1-p}) = w * WOE(x) + b = w * [ln(\frac{Bad_i}{Good_i}) - ln( \frac{Bad_T}{Good_T})] + b \tag{10}$

我们可以观察到WOE公式与LR左边部分是如此相似。回到贝叶斯角度解释WOE时留下的提示——两侧为什么会取自然对数ln，而不是log？

在评分卡模型中我们就得到了一种可能的解释，主要是为了适配于LR模型。

接下来解释WOE曲线需要保持单调性的意义。

首先，引入Odds（几率）概念：

$Odds = P / (1 - P)$ ，P为预测为1的概率。Odds越大，代表预测为1的概率越高。

然后我们把相邻两个分箱的WOE值相减。

$\left\{ \begin{aligned} ln(Odds_1) = w * WOE_{bin1} + b = w[ln(\frac{Bad_1}{Good_1}) - ln(\frac{Bad_T}{Good_T})] + b, x \in bin_1 \\ ln(Odds_2) = w * WOE_{bin2} + b =w[ln(\frac{Bad_2}{Good_2}) - ln(\frac{Bad_T}{Good_T})] + b, x \in bin_2 \\ \end{aligned} \right. \\ \Rightarrow ln(Odds_2) - ln(Odds_1) = w * [WOE_{bin2} - WOE_{bin1}] = w[ln(\frac{Bad_2}{Good_2}) - ln(\frac{Bad_1}{Good_1})] \\ \Rightarrow w = \frac{ln(Odds_2) - ln(Odds_1)}{ln(\frac{Bad_2}{Good_2}) - ln(\frac{Bad_1}{Good_1})} \tag{11}$

在上述等式中，权重w可以认为是常数，因此我们会发现：

分子和分母的变化趋势一致，当WOE单调递增时，分子中ln(odds)也是单调变化，由此P(Y=Bad)也是单调变化。
当分母变化越大时，分子也会变化越大，宏观表现就是WOE曲线越陡。此时，好人与坏人的区分将会越明显。

Part 6. 从相对熵角度理解IV

在《稳定性评估指标深入理解应用》一文里，我们从相对熵（KL散度）角度理解了PSI的数学原理。

我们会留意到下面三者好像都和“信息”有关系，那这三者之间存在怎样的联系呢？

信息熵（Shannon entropy）、相对熵（relative entropy）、信息量（Information Value）

因此，我们把PSI、IV的计算公式放在一起进行对比，希望能观察出一些线索。

$IV = \sum_{i=1}^{n}(\frac{Bad_i}{Bad_T} - \frac{Good_i}{Good_T}) *ln(\frac{Bad_i}{Bad_T} / \frac{Good_i}{Good_T}) \\ PSI = \sum_{i=1}^{n}(\frac{Actual_i}{Actual_T} - \frac{Expect_i} {Expect_T}) *ln(\frac{Actual_i}{Actual_T} / \frac{Expect_i}{Expect_T}) \tag{12}$

我们会发现两者形式上是完全一致的，这主要是因为它们背后的支撑理论都是相对熵。我们可以归纳为：

1. PSI衡量预期分布和实际分布之间的差异性，IV把这两个分布具体化为好人分布和坏人分布。IV指标是在从信息熵上比较好人分布和坏人分布之间的差异性。

图 4 - 好人与坏人分布对比

2. PSI和IV在取值范围与业务含义的对应上也是存在统一性，只是应用场景不同——PSI用以判断变量稳定性，IV用以判断变量预测能力。

图 5 - PSI和iV指标的含义对比