动态规划：求把数n分成若干个正数相加的总情况数

题目：

N=a[1]+a[2]+a[3]…+a[m];
a[i]>0,1<=m<=N;
对于一个正整数，求解满足上面公式的所有算式组合，如对于整数4：
4=4
4=3+1
4=2+2
4=2+1+1
4=1+1+1+1
所以上面的结果是5
注意对于“4=3+1”和“4=1+3”，这两处算式实际上是一个组合！
输入
每个用例中，会有多行输入，每行输入一个正整数，表示要求解的正整数N（1<=N<=120）
输出：
对输入中的每个整数求解答案，并输出一行（回车换行）
样例：
4
10
20
输出：
5
42
627

题目分析：

首先把问题分解为： 将数n分解成m个非零项相加（只考虑非零，因为4=4和4=4+0是一样的，后面再把m从1到n遍历即可得出完整答案），设有f[n][m]种结果，可分为两种情况简化问题：
情况①： 如果这m个项中含有1，那么等式两边同时减去1（如4=1+1+2变成3=1+2），
那么这种情况就成为一个子问题： “把数n-1分解成m-1个单项式”，而其结果为f[n-1][m-1]

情况②： 如果这m个项中不包含1（即每项都≥2），那么对于符合该条件的每一种情况 ，如果我对右式每项都-1. 相应的为保持等式成立，数n也要-m。而这样操作后与操作前的情况数是不变的。
换句话说就是：情况②的数目与“把数n-m分解成m个单项式：f[n-m][m]”是一致的

所以我们分解化简后转化出这样两个式子：
多项式中含有1时，对应的结果为 f[n-1][m-1]
多项式中不含有1时，对应的结果为 f[n-m][m]

两情况是对立的，所以总结果数为两者相加：f[n][m]=f[n-1][m-1]+f[n-m][m]
所以我们得到了一个递推关系式。如果我们能得出 f[n-1][m-1]和 f[n-m][m]的正确结果，那么就能得出 f[n][m]的正确结果

然而前两者的正确结果该如何计算呢？其实跟我们目前的问题解法是完全一致的，只是参数不同而已。
所以需要一直递归地分解问题，直到情况不断分解至我们能控制的范围（n=1）为止。

然而递归只是一种思路，比较好理解，在编写程序的时候递归函数会占用大量资源，不建议使用。

#include <stdio.h>
int main()
{
	int f[121][121]={0}; //f[0][0]可读性差，直接从f[1][1]开始，所以多定义一行空间
	//把所有值初始化为0，因为递归公式有可能访问到无意义的值，
	//如f[1][3]（把数1分成3个正整数单项式，是不存在情况的），如果不赋初值f[1][3]将会是随机数。 
	int maxNum = 120;
	
	//赋值根本依据 
	for(int i=0;i<=maxNum;i++)
	{
		f[i][1] = 1;//拆成1项的情况：只有1种 
	} 
	
	//逐层算出结果 
    for(int i = 1; i<=maxNum; i++)//数n为i时的情况。 
	{
        for(int j = 2; j<=i; j++)//计算拆成j项的情况 ，i逻辑上≥j（由题意项数不可能大于数n）。 
		{
            f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-j][j];
        }
    }
    
    //输出答案 
    int n,answer;
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		answer=0; 
		for(int j=1;j<=n;j++)//最终结果是 把数分成1~n项的情况数 的和 
		{
			answer+=f[n][j];
		}
		printf("%d\n",answer);
	}
}