十、矩阵零空间、线性无关、列空间、列空间的基、零度、秩等概念的整合

矩阵的零空间可以判断矩阵的列向量集合是否线性无关，且可以求出矩阵列空间的基

假设矩阵A:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 4 & 3\\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

1. 矩阵A的零空间：

$N(\mathbf{A}) = N(rref(\mathbf{A})) = \left \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^4 | \mathbf{A} \vec{x} = \vec{0} \right \}$

$N(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -3\\ 2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} = span \left ( \begin{bmatrix} -3\\ 2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}_, \begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \right )$

矩阵A的零空间是一个包含0向量的平面

2. 矩阵A的列向量集合是否线性无关？

$S = \left \{ \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}_, \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 4 \end{bmatrix}_, \begin{bmatrix} 1\\ 4\\ 1 \end{bmatrix}_, \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 2 \end{bmatrix} \right \}$

$x_1\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 4 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 1\\ 4\\ 1 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

如果矩阵的零空间仅包含0向量的话，矩阵的列向量集合线性无关，如果除了0向量外，还包含其他向量，那么列向量集合线性相关。因为矩阵A的零空间是一个包含0向量的平面，即 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 可以不全为0，所以矩阵A的列向量集合线性相关。

3. 矩阵A的列空间：

$C(\mathbf{A}) = \left \{ \mathbf{A} \vec{x} | \vec{x} \in \mathbb{R}^4 \right \} = span\left ( \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}_, \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 4 \end{bmatrix}_, \begin{bmatrix} 1\\ 4\\ 1 \end{bmatrix}_, \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 2 \end{bmatrix} \right )$