四元数姿态解算算法基础

姿态的表示方法

载体姿态有多种表示方法，常见的三种：欧拉角，姿态矩阵，四元数。
欧拉角的物理意义比较直观，即航向角 $\psi$，俯仰角 $\theta$，横滚角 $\gamma$，分别是导航系到载体系的三个旋转角度。
姿态矩阵可以由欧拉角直接计算得到，即三个角度对应的转换矩阵依相乘。

注意的是导航系到载体系是按照航向角，俯仰角，横滚角的顺序变换的所以导航系到载体系变换时，三个矩阵相乘的顺序应该是 $C(\gamma)*(\theta)*C(\psi)$.

四元数表示方法较为抽象，直接从四元数“很难”看出载体姿态（这个姿态是对人的想象来说的姿态，因为四元数和欧拉角本无本质区别，只是一种表示方法），那么他的物理意义是什么呢？

四元数表示姿态的物理意义

四元数表示姿态时有多个写法，其中一种表示方法如下：
$q=cos(\frac{\theta}{2})+u^nsin(\frac{\theta}{2})$

欧拉角表示姿态变换时，表征的是分别绕着 $(i,j,k)$三个坐标轴的三次旋转。根据欧拉定理，这三次旋转可以等效成绕着某轴一次旋转而成。这个某轴就是公式中的 $u^n=(u_1,u_2,u_3)$,旋转角度就是公式中的 $\theta$。
四元数通常写为 $q=q_0+q_1+q_2+q_3$
那么用于姿态表示时,
$q_0=cos(\frac{\theta}{2})$
$q_i=u_i*sin(\frac{\theta}{2}),i=1,2,3$

使用四元数进行载体姿态更新方程

$q(t+\delta t) = q(t)+\frac{dq}{dt} \times \delta t$
四元数的更新可通过上式完成。因此只要知道初始四元数（载体的初始姿态）和四元数的导数就可以完成任意时刻四元数的解算。
例如px4中姿态更新的代码如下

// Apply correction to state
	_q += _q.derivative(corr) * dt;

四元数微分方程

$\frac{dq}{dt}$ 需要求解四元数微分方程，基本推导过程如下：

$\frac{dq}{dt}=-\frac{\dot{\theta}}{2}sin(\frac{\theta}{2})+u^n \frac{\dot{\theta}}{2}cos(\frac{\theta}{2})+sin(\frac{\theta}{2}) \frac{du^n}{dt}$
其中， $\frac{du^n}{dt}=0$，因此：

$\frac{dq}{dt}=-\frac{\dot{\theta}}{2}sin(\frac{\theta}{2})+u^n \frac{\dot{\theta}}{2}cos(\frac{\theta}{2})$

$=u^n \times u^n \frac{\dot{\theta}}{2}sin(\frac{\theta}{2})+u^n \frac{\dot{\theta}}{2}cos(\frac{\theta}{2})$

$=u^n \frac{\dot{\theta}}{2} \times (u^n sin(\frac{\theta}{2})+u^n cos(\frac{\theta}{2}) )$

$=u^n \frac{\theta}{2} \times q =\frac{\omega_{nb}^n \times q}{2}$

结果中的角速度为导航系到机体系在导航系下的旋转角速度矢量，但是我们通过陀螺仪测得的是载体系下的角速度。因此还需要一部变换：

$\omega_{nb}^n=q \times \omega_{nb}^b \times q^*$
由此可得到，
$\frac{dq}{dt} =q \times \frac{\omega_{nb}^b}{2}$

我们得到了四元数导数和载体系角速度的数学关系，展开上式得 $\frac{dq}{dt}$：
$\begin{bmatrix} 0 & -\omega_x & -\omega_y & -\omega_z \\ \omega_x & 0 & \omega_z & -\omega_y\\ \omega_y & -\omega_z & 0 & \omega_x\\ \omega_z & \omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} q_0 \\ q_1 \\q_2\\q_3 \end{bmatrix}$
也可以写成，
$\begin{bmatrix} q_0 & -q_1 & -q_2 & -q_3 \\ q_1 & 0 & q_3 & -q_2 \\ q_2 & -q_3 & 0 & q_1 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} q_0 \\ q_1 \\q_2\\q_3 \end{bmatrix}$

四元数初始值确定

px4 中的初始四元数计算。

bool AttitudeEstimatorQ::init()

四元数初始值的确实可以看做是一个初始对准的过程。
而上述模型仅仅是理想状态下的数学模型，实际角速度中必然包含零偏、噪声等误差，更新过程中又不可避免的有飘漂移发生。所以仅用上式是无法给出可以使用的姿态的。
实际使用中常常用kalman滤波或者补偿滤波的方法来“校正”这些误差。因此初始值可以不必那么精确。给出一个概略初始值即可。
例如可以通过加速度z轴方向和磁罗盘的输出向量，来完成对准。两者从物理概念上实际上分别完成了调平和指北的任务。