1195. 最小总代价

1195. 最小总代价

题目描述
n个人在做传递物品的游戏,编号为1-n。

游戏规则是这样的：开始时物品可以在任意一人手上，他可把物品传递给其他人中的任意一位；下一个人可以传递给未接过物品的任意一人。

即物品只能经过同一个人一次，而且每次传递过程都有一个代价；不同的人传给不同的人的代价值之间没有联系；

求当物品经过所有n个人后，整个过程的总代价最小是多少。

输入
第一行为n,表示共有n个人（16>=n>=2）；
以下为n*n的矩阵，第i+1行、第j列表示物品从编号为i的人传递到编号为j的人所花费的代价，特别的有第i+1行、第i列为-1（因为物品不能自己传给自己），其他数据均为正整数(<=10000)。

(对于50%的数据，n<=11)。

输出
一个数，为最小的代价总和。

样例输入

2
-1 9794
2724 -1

样例输出

2724

数据范围限制

提示

50% n<=11

思路：

状态压缩 DP 是一种针对集合的 DP,可以用一个整数对应的二进制数表示一个集合,用这个集合来表示当前的状态,通过位运算来转移状态。与普通 DP 相比,状态压缩 DP 的转移状态比较复杂,由于一些特点可以使用一个二进制数来表示,从而达到了压缩状态的效果,其在 DP 思路上与普通 DP 基本类似。

状压dp运用到一些位运算，大致如下：


关于位运算的进阶：

三种常用的操作：

1. 判断x的第i位是否为1 if( x&(1<<（i-1)))；
2. 将x的第i位改为1 x=x|1<<(i-1);
3. 将x的最低位1去掉 x=x&(x-1);

---

回到本题……
题目大意：有n个人在传球，可以从任意一个人开始，任何一个未接球的人，都可以作为下一个接球的人，每两个人之间传球需要花费一些代价，问所有人都接到过球后的最小代价。

设f[st][i]表示当前状态为st下，以i为当前的最后接球人的最小代价。

初始状态： f[1<<i][i]=0；表示一开始物品在i手中。

所有的状态的区间为1~(1<<n)-1
对于每一种状态，由于每一个人都有可能作为该状态的最后持球人，所以我们要枚举0~n-1。
当然必须这个人要是拿过球的，即(1<<j)&i)为真
j作为当前的最后持球人，他才能继续往下传，下一个接球的人显然也必须有一个条件：他没有接过球，即(1<<k)&i)为假

状态转移方程： $f[i|(1<<k)][k]=min(f[i|(1<<k)][k],f[i][j]+a[j][k]);$

第i个状态时，最后持球人为j，将球传给了k，那么新状态为i|(1<<k)，最后持球人变为k。由于球从j传给了k，显然代价为f[i][j]+a[j][k]。那新状态的最小代价是min(f[i][j]+a[j][k])。

传球结束后，这个状态(1<<n)-1下，由于每个人都可以作最后持球人，所以还要进行一轮打擂台min。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout);
using namespace std;
const int MAX=2147483647;
const int N=1e6;
int n,a[20][20],f[1<<17][17],ans=MAX;
int main()
{
	//fre();
	memset(f,127/3,sizeof(f));
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=0;j<n;j++)
		scanf("%d",&a[i][j]);
	for(int i=0;i<n;i++) f[1<<i][i]=0;
	for(int i=1;i<(1<<n);i++)
	for(int j=0;j<n;j++)
		if((1<<j)&i) //如果j可以作为最后被传递的人
			for(int k=0;k<n;k++)
				if(!((1<<k)&i)) 
					f[i|(1<<k)][k]=min(f[i|(1<<k)][k],f[i][j]+a[j][k]);
	for(int i=0;i<n;i++) ans=min(ans,f[(1<<n)-1][i]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}